- 数学Ⅱ｜図形と方程式「座標でのAB²+AC²=2(AM²+BM²)の証明」の基本例題解説ページです。
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問題｜座標でのAB²+AC²=2(AM²+BM²)の証明
図形と方程式 05\(\triangle{\rm ABC}\) の辺 \({\rm BC}\) の中点を \({\rm M}\) としたとき、座標を用いた等式 \({\rm AB}^2+{\rm AC}^2=2({\rm AM}^2+{\rm BM}^2)\) の証明方法は？
高校数学Ⅱ｜図形と方程式
解法のPoint
座標でのAB²+AC²=2(AM²+BM²)の証明
Point：座標でのAB²+AC²=2(AM²+BM²)の証明
\({\rm AB}^2+{\rm AC}^2=2({\rm AM}^2+{\rm BM}^2)\)
の証明方法は、
① 辺 \({\rm BC}\) を \(x\) 軸、中点 \({\rm M}\) を原点にとり、点 \({\rm A}~,~\)\({\rm B}~,~\)\({\rm C}\) の座標を文字でおく。
対称性を用いて、
\({\rm A}(a~,~b)~,~\)\({\rm B}(-c~,~0)~,~\)\({\rm C}(c~,~0)\) とおける。
② 2点間の距離の公式より、\({\rm AB}^2~,~{\rm AC}^2~,~{\rm AM}^2~,~{\rm BM}^2\) を求めて、等式が成り立つことを示す。
座標を用いた、
\({\rm AB}^2+{\rm AC}^2=2({\rm AM}^2+{\rm BM}^2)\)
の証明方法は、
① 辺 \({\rm BC}\) を \(x\) 軸、中点 \({\rm M}\) を原点にとり、点 \({\rm A}~,~\)\({\rm B}~,~\)\({\rm C}\) の座標を文字でおく。
対称性を用いて、
\({\rm A}(a~,~b)~,~\)\({\rm B}(-c~,~0)~,~\)\({\rm C}(c~,~0)\) とおける。
② 2点間の距離の公式より、\({\rm AB}^2~,~{\rm AC}^2~,~{\rm AM}^2~,~{\rm BM}^2\) を求めて、等式が成り立つことを示す。
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詳しい解説｜座標でのAB²+AC²=2(AM²+BM²)の証明
図形と方程式 05
\(\triangle{\rm ABC}\) の辺 \({\rm BC}\) の中点を \({\rm M}\) としたとき、座標を用いた等式 \({\rm AB}^2+{\rm AC}^2=2({\rm AM}^2+{\rm BM}^2)\) の証明方法は？
高校数学Ⅱ｜図形と方程式
[証明] この \(\triangle{\rm ABC}\) の辺 \({\rm BC}\) を \(x\) 軸にとり、辺 \({\rm BC}\) の垂直二等分線を \(y\) 軸にとる
辺 \({\rm BC}\) の中点 \({\rm M}\) は原点 \((0~,~0)\) となり、点 \({\rm C}\) の座標を \({\rm C}(c~,~0)\) とおくと、点 \({\rm B}\) の座標は \({\rm B}(-c~,~0)\) となる
また、点 \({\rm A}\) の座標を \({\rm A}(a~,~b)\) とおく
ここで、2点間の距離より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AB}^2&=&\left\{a-(-c)\right\}^2+b^2
\\[3pt]~~~&=&(a+c)^2+b^2~~~\cdots{\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AC}^2&=&(a-c)^2+b^2~~~\cdots{\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AM}^2&=&a^2+b^2~~~\cdots{\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm BM}^2&=&\left\{0-(-c)\right\}^2+0^2
\\[3pt]~~~&=&c^2~~~\cdots{\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&{\rm AB}^2+{\rm AC}^2
\\[3pt]~~~&=&(a+c)^2+b^2+(a-c)^2+b^2
\\[3pt]~~~&=&a^2+2ac+c^2+b^2+a^2-2ac+c^2+b^2
\\[3pt]~~~&=&2a^2+2b^2+2c^2
\\[3pt]~~~&=&2(a^2+b^2+c^2)\end{eqnarray}\)
また、\({\small [\,3\,]}~,~{\small [\,4\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~2({\rm AM}^2+{\rm BM}^2)&=&2(a^2+b^2+c^2)\end{eqnarray}\)
したがって、
\({\rm AB}^2+{\rm AC}^2=2({\rm AM}^2+{\rm BM}^2)\) [終]
