このページは、「座標でのAB²+AC²=2(AM²+BM²)の証明」の練習問題アーカイブページとなります。
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座標でのAB²+AC²=2(AM²+BM²)の証明 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(\triangle{\rm ABC}\) において、辺 \({\rm BC}\) を \(1:2\) に内分する点を \({\rm D}\) とする。このとき、等式 \(2{\rm AB}^2+{\rm AC}^2=3({\rm AD}^2+2{\rm BD}^2)\) が成り立つことを証明せよ。
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.76 練習5
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.72 練習6
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.75 研究 練習1
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.80 問25
[証明] この \(\triangle{\rm ABC}\) の辺 \({\rm BC}\) を \(x\) 軸にとり、点 \({\rm D}\) を原点にとる
点 \({\rm D}\) は辺 \({\rm BC}\) を \(1:2\) に内分するので、\({\rm BD}:{\rm DC}=1:2\) となる
点 \({\rm C}\) の座標を \({\rm C}(2c~,~0)\) とおくと、\({\rm DC}=2c\) となるので、\({\rm BD}=c\) より点 \({\rm B}\) の座標は \({\rm B}(-c~,~0)\) となる
また、点 \({\rm A}\) の座標を \({\rm A}(a~,~b)\) とおく
ここで、2点間の距離より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AB}^2&=&\left\{a-(-c)\right\}^2+b^2
\\[3pt]~~~&=&(a+c)^2+b^2~~~\cdots{\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AC}^2&=&(a-2c)^2+b^2~~~\cdots{\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AD}^2&=&a^2+b^2~~~\cdots{\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm BD}^2&=&c^2~~~\cdots{\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&2{\rm AB}^2+{\rm AC}^2
\\[3pt]~~~&=&2\left\{(a+c)^2+b^2\right\}+(a-2c)^2+b^2
\\[3pt]~~~&=&2(a^2+2ac+c^2+b^2)+a^2-4ac+4c^2+b^2
\\[3pt]~~~&=&2a^2+4ac+2c^2+2b^2+a^2-4ac+4c^2+b^2
\\[3pt]~~~&=&3a^2+3b^2+6c^2
\\[3pt]~~~&=&3(a^2+b^2+2c^2)\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&2\left\{(a+c)^2+b^2\right\}+(a-2c)^2+b^2
\\[3pt]~~~&=&2(a^2+2ac+c^2+b^2)+a^2-4ac+4c^2+b^2
\\[3pt]~~~&=&2a^2+4ac+2c^2+2b^2+a^2-4ac+4c^2+b^2
\\[3pt]~~~&=&3a^2+3b^2+6c^2
\\[3pt]~~~&=&3(a^2+b^2+2c^2)\end{eqnarray}\)
また、\({\small [\,3\,]}~,~{\small [\,4\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~3({\rm AD}^2+2{\rm BD}^2)&=&3(a^2+b^2+2c^2)\end{eqnarray}\)
したがって、
\(2{\rm AB}^2+{\rm AC}^2=3({\rm AD}^2+2{\rm BD}^2)\) [終]
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02平面上に長方形 \({\rm ABCD}\) がある。この平面上の任意の点 \({\rm P}\) に対して
\({\rm PA}^2+{\rm PC}^2={\rm PB}^2+{\rm PD}^2\)
が成り立つことを証明せよ。
\({\rm PA}^2+{\rm PC}^2={\rm PB}^2+{\rm PD}^2\)
が成り立つことを証明せよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.110 練習問題A 4
[証明] 長方形 \({\rm ABCD}\) の頂点 \({\rm B}\) を原点にとり、辺 \({\rm BC}\) を \(x\) 軸、辺 \({\rm BA}\) を \(y\) 軸にとる
点 \({\rm A}\) の座標を \({\rm A}(0~,~d)\)、点 \({\rm C}\) の座標を \({\rm C}(c~,~0)\) とおくと、点 \({\rm D}\) の座標は \({\rm D}(c~,~d)\) となる
また、平面上の任意の点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(a~,~b)\) とおく
ここで、2点間の距離より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PA}^2&=&a^2+(b-d)^2
\\[3pt]~~~&=&a^2+b^2-2bd+d^2~~~\cdots{\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PB}^2&=&a^2+b^2~~~\cdots{\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PC}^2&=&(a-c)^2+b^2
\\[3pt]~~~&=&a^2-2ac+c^2+b^2~~~\cdots{\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PD}^2&=&(a-c)^2+(b-d)^2
\\[3pt]~~~&=&a^2-2ac+c^2+b^2-2bd+d^2~~~\cdots{\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&{\rm PA}^2+{\rm PC}^2
\\[3pt]~~~&=&a^2+b^2-2bd+d^2+a^2-2ac+c^2+b^2
\\[3pt]~~~&=&2a^2+2b^2-2ac-2bd+c^2+d^2\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&a^2+b^2-2bd+d^2+a^2-2ac+c^2+b^2
\\[3pt]~~~&=&2a^2+2b^2-2ac-2bd+c^2+d^2\end{eqnarray}\)
また、\({\small [\,2\,]}~,~{\small [\,4\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&{\rm PB}^2+{\rm PD}^2
\\[3pt]~~~&=&a^2+b^2+a^2-2ac+c^2+b^2-2bd+d^2
\\[3pt]~~~&=&2a^2+2b^2-2ac-2bd+c^2+d^2\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&a^2+b^2+a^2-2ac+c^2+b^2-2bd+d^2
\\[3pt]~~~&=&2a^2+2b^2-2ac-2bd+c^2+d^2\end{eqnarray}\)
したがって、
\({\rm PA}^2+{\rm PC}^2={\rm PB}^2+{\rm PD}^2\) [終]
