- 数学Ⅱ｜図形と方程式「平面上の内分点・外分点・中点」の基本例題解説ページです。
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問題｜平面上の内分点・外分点・中点
図形と方程式 06平面上の2点 \({\rm A}(2~,~3)~,~\)\({\rm B}(-4~,~6)\) を結ぶ線分 \({\rm AB}\) の \(2:1\) の内分点、\(2:1\) の外分点、中点の座標の求め方は？
高校数学Ⅱ｜図形と方程式
解法のPoint
平面上の内分点・外分点・中点
Point：平面上の内分点・外分点・中点
■ 線分 \({\rm AB}\) を \(m:n\) に内分する点。
\(\left(\,\displaystyle \frac{\,nx_1+mx_2\,}{\,m+n\,}~,~\displaystyle \frac{\,ny_1+my_2\,}{\,m+n\,}\,\right)\)
\(\left(\,\displaystyle \frac{\,-nx_1+mx_2\,}{\,m-n\,}~,~\displaystyle \frac{\,-ny_1+my_2\,}{\,m-n\,}\,\right)\)
\(\left(\,\displaystyle \frac{\,x_1+x_2\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,y_1+y_2\,}{\,2\,}\,\right)\)
平面上の2点 \({\rm A}(x_1~,~y_1)~,~\)\({\rm B}(x_2~,~y_2)\) について、
■ 線分 \({\rm AB}\) を \(m:n\) に内分する点。
\(\left(\,\displaystyle \frac{\,nx_1+mx_2\,}{\,m+n\,}~,~\displaystyle \frac{\,ny_1+my_2\,}{\,m+n\,}\,\right)\)
■ 線分 \({\rm AB}\) を \(m:n\) に外分する点。
\(\left(\,\displaystyle \frac{\,-nx_1+mx_2\,}{\,m-n\,}~,~\displaystyle \frac{\,-ny_1+my_2\,}{\,m-n\,}\,\right)\)
■ 線分 \({\rm AB}\) の中点。
\(\left(\,\displaystyle \frac{\,x_1+x_2\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,y_1+y_2\,}{\,2\,}\,\right)\)
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詳しい解説｜平面上の内分点・外分点・中点
図形と方程式 06
平面上の2点 \({\rm A}(2~,~3)~,~\)\({\rm B}(-4~,~6)\) を結ぶ線分 \({\rm AB}\) の \(2:1\) の内分点、\(2:1\) の外分点、中点の座標の求め方は？
高校数学Ⅱ｜図形と方程式
線分 \({\rm AB}\) の内分点は、
内分点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,1 \cdot 2+2 \cdot (-4)\,}{\,2+1\,}&=&\displaystyle\frac{\,2-8\,}{\,3\,}
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,-6\,}{\,3\,}
\\[3pt]~~~&=&-2\end{eqnarray}\)
\(y\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,1 \cdot 3+2 \cdot 6\,}{\,2+1\,}&=&\displaystyle\frac{\,3+12\,}{\,3\,}
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,15\,}{\,3\,}
\\[3pt]~~~&=&5\end{eqnarray}\)
したがって、内分点 \((-2~,~5)\)
線分 \({\rm AB}\) の外分点は、
下の図は実際の座標の位置関係とは異なるが、計算の手順を統一するために、常にこの形で図を描くとよい。
外分点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,-1 \cdot 2+2 \cdot (-4)\,}{\,2+(-1)\,}&=&\displaystyle\frac{\,-2-8\,}{\,1\,}
\\[3pt]~~~&=&-10\end{eqnarray}\)
\(y\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,-1 \cdot 3+2 \cdot 6\,}{\,2+(-1)\,}&=&\displaystyle\frac{\,-3+12\,}{\,1\,}
\\[3pt]~~~&=&9\end{eqnarray}\)
したがって、外分点 \((-10~,~9)\)
線分 \({\rm AB}\) の中点は、
中点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,2+(-4)\,}{\,2\,}&=&\displaystyle\frac{\,-2\,}{\,2\,}
\\[3pt]~~~&=&-1\end{eqnarray}\)
\(y\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,3+6\,}{\,2\,}&=&\displaystyle\frac{\,9\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、中点 \(\left(-1~,~\displaystyle\frac{\,9\,}{\,2\,}\right)\)
