- 数学Ⅱ｜図形と方程式「平行四辺形の対角線の交点の座標」の基本例題解説ページです。
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問題｜平行四辺形の対角線の交点の座標
図形と方程式 09平面上の4点 \({\rm A}(2~,~3)~,~\)\({\rm B}(-4~,~6)~,~\)\({\rm C}(0~,~-1)~,~\)\({\rm D}\) を頂点とする平行四辺形 \({\rm ABCD}\) について、点 \({\rm D}\) の座標の求め方は？
高校数学Ⅱ｜図形と方程式
解法のPoint
平行四辺形の対角線の交点の座標
Point：平行四辺形の対角線の交点の座標
① 点 \({\rm D}\) の座標を \((x~,~y)\) とおく。
② 対角線の線分 \({\rm AC}\) と \({\rm BD}\) の中点の座標をそれぞれ求める。
③ 平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるので、2つの中点が一致することより、\(x~,~y\) の値を求める。
4点 \({\rm A}~,~\)\({\rm B}~,~\)\({\rm C}~,~\)\({\rm D}\) が平行四辺形 \({\rm ABCD}\) をつくるとき、点 \({\rm D}\) の座標は、
① 点 \({\rm D}\) の座標を \((x~,~y)\) とおく。
② 対角線の線分 \({\rm AC}\) と \({\rm BD}\) の中点の座標をそれぞれ求める。
③ 平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるので、2つの中点が一致することより、\(x~,~y\) の値を求める。
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詳しい解説｜平行四辺形の対角線の交点の座標
図形と方程式 09
平面上の4点 \({\rm A}(2~,~3)~,~\)\({\rm B}(-4~,~6)~,~\)\({\rm C}(0~,~-1)~,~\)\({\rm D}\) を頂点とする平行四辺形 \({\rm ABCD}\) について、点 \({\rm D}\) の座標の求め方は？
高校数学Ⅱ｜図形と方程式
点 \({\rm D}\) の座標を \({\rm D}(x~,~y)\) とおくと、
下の図は実際の座標の位置関係とは異なるが、計算する上では問題はない。
平行四辺形 \({\rm ABCD}\) の対角線 \({\rm AC}~,~\)\({\rm BD}\) の中点は一致する
2点 \({\rm A}(2~,~3)~,~\)\({\rm C}(0~,~-1)\) の中点は、
\(x\) 座標が、
\(\displaystyle \frac{\,2+0\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,2\,}=1\)
\(y\) 座標が、
\(\displaystyle \frac{\,3+(-1)\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,2\,}=1\)
よって、\((1~,~1)\) \(~~~\cdots{\small [\,1\,]}\)
また、2点 \({\rm B}(-4~,~6)~,~\)\({\rm D}(x~,~y)\) の中点は、
\(x\) 座標が、
\(\displaystyle \frac{\,-4+x\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,x-4\,}{\,2\,}\)
\(y\) 座標が、
\(\displaystyle \frac{\,6+y\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,y+6\,}{\,2\,}\)
よって、\(\left(\displaystyle \frac{\,x-4\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,y+6\,}{\,2\,}\right)\) \(~~~\cdots{\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) より、中点の \(x\) 座標について、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,x-4\,}{\,2\,}&=&1
\\[3pt]~~~x-4&=&2
\\[3pt]~~~x&=&6\end{eqnarray}\)
また、中点の \(y\) 座標について、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,y+6\,}{\,2\,}&=&1
\\[3pt]~~~y+6&=&2
\\[3pt]~~~y&=&-4\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm D}(6~,~-4)\) となる
