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平行四辺形の対角線の交点の座標 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ014点 \({\rm A}(-3~,~2)~,~\)\({\rm B}(2~,~-2)~,~\)\({\rm C}(4~,~3)~,~\)\({\rm D}\) を頂点とする平行四辺形 \({\rm ABCD}\) について、次の点の座標を求めよ。
\({\small (1)}~\)対角線 \({\rm AC}\) の中点 \({\rm M}\)
\({\small (2)}~\)頂点 \({\rm D}\)
\({\small (1)}~\)対角線 \({\rm AC}\) の中点 \({\rm M}\)
\({\small (2)}~\)頂点 \({\rm D}\)
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.91 問題 3
\({\small (1)}~\)2点 \({\rm A}(-3~,~2)~,~\)\({\rm C}(4~,~3)\) の中点 \({\rm M}\)は、
\(x\) 座標が、
\(\displaystyle \frac{\,-3+4\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\(y\) 座標が、
\(\displaystyle \frac{\,2+3\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\)
したがって、\({\rm M}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\right)\) となる
\({\small (2)}~\)点 \({\rm D}\) の座標を \({\rm D}(x~,~y)\) とおくと、
平行四辺形 \({\rm ABCD}\) の対角線 \({\rm AC}~,~\)\({\rm BD}\) の中点は一致する
\({\small (1)}\) より、対角線 \({\rm AC}\) の中点 \({\rm M}\)は、
\(\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\right)\) \(~~~\cdots{\small [\,1\,]}\)
また、2点 \({\rm B}(2~,~-2)~,~\)\({\rm D}(x~,~y)\) の中点は、
\(x\) 座標が、
\(\displaystyle \frac{\,2+x\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,x+2\,}{\,2\,}\)
\(y\) 座標が、
\(\displaystyle \frac{\,-2+y\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,y-2\,}{\,2\,}\)
よって、\(\left(\displaystyle \frac{\,x+2\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,y-2\,}{\,2\,}\right)\) \(~~~\cdots{\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) より、中点の \(x\) 座標について、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,x+2\,}{\,2\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\\[3pt]~~~x+2&=&1\\[3pt]~~~x&=&-1\end{eqnarray}\)
また、中点の \(y\) 座標について、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,y-2\,}{\,2\,}&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\\[3pt]~~~y-2&=&5\\[3pt]~~~y&=&7\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm D}(-1~,~7)\) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ024点 \({\rm A}(-3~,~2)~,~\)\({\rm B}(2~,~-2)~,~\)\({\rm C}(4~,~3)~,~\)\({\rm D}\) を頂点とする平行四辺形について、頂点 \({\rm D}\) となりうる点の座標をすべて求めよ。
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.91 問題 8
\({\small (1)}~\)平行四辺形 \({\rm ABCD}\)の場合
点 \({\rm D}\) の座標を \({\rm D}(x~,~y)\) とおくと、
平行四辺形 \({\rm ABCD}\) の対角線 \({\rm AC}~,~\)\({\rm BD}\) の中点は一致する
2点 \({\rm A}(-3~,~2)~,~\)\({\rm C}(4~,~3)\) の中点は、
\(x\) 座標が、
\(\displaystyle \frac{\,-3+4\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\(y\) 座標が、
\(\displaystyle \frac{\,2+3\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\)
よって、\(\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\right)\) \(~~~\cdots{\small [\,1\,]}\)
また、2点 \({\rm B}(2~,~-2)~,~\)\({\rm D}(x~,~y)\) の中点は、
\(x\) 座標が、
\(\displaystyle \frac{\,2+x\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,x+2\,}{\,2\,}\)
\(y\) 座標が、
\(\displaystyle \frac{\,-2+y\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,y-2\,}{\,2\,}\)
よって、\(\left(\displaystyle \frac{\,x+2\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,y-2\,}{\,2\,}\right)\) \(~~~\cdots{\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) より、中点の \(x\) 座標について、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,x+2\,}{\,2\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\\[3pt]~~~x+2&=&1\\[3pt]~~~x&=&-1\end{eqnarray}\)
また、中点の \(y\) 座標について、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,y-2\,}{\,2\,}&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\\[3pt]~~~y-2&=&5\\[3pt]~~~y&=&7\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm D}(-1~,~7)\) となる
\({\small (2)}~\)平行四辺形 \({\rm ABDC}\)の場合
点 \({\rm D}\) の座標を \({\rm D}(x~,~y)\) とおくと、
平行四辺形 \({\rm ABDC}\) の対角線 \({\rm AD}~,~\)\({\rm BC}\) の中点は一致する
2点 \({\rm B}(2~,~-2)~,~\)\({\rm C}(4~,~3)\) の中点は、
\(x\) 座標が、
\(\displaystyle \frac{\,2+4\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,6\,}{\,2\,}=3\)
\(y\) 座標が、
\(\displaystyle \frac{\,-2+3\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
よって、\(\left(3~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)\) \(~~~\cdots{\small [\,1\,]}\)
また、2点 \({\rm A}(-3~,~2)~,~\)\({\rm D}(x~,~y)\) の中点は、
\(x\) 座標が、
\(\displaystyle \frac{\,-3+x\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,x-3\,}{\,2\,}\)
\(y\) 座標が、
\(\displaystyle \frac{\,2+y\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,y+2\,}{\,2\,}\)
よって、\(\left(\displaystyle \frac{\,x-3\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,y+2\,}{\,2\,}\right)\) \(~~~\cdots{\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) より、中点の \(x\) 座標について、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,x-3\,}{\,2\,}&=&3\\[3pt]~~~x-3&=&6\\[3pt]~~~x&=&9\end{eqnarray}\)
また、中点の \(y\) 座標について、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,y+2\,}{\,2\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\\[3pt]~~~y+2&=&1\\[3pt]~~~y&=&-1\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm D}(9~,~-1)\) となる
\({\small (3)}~\)平行四辺形 \({\rm ADBC}\)の場合
点 \({\rm D}\) の座標を \({\rm D}(x~,~y)\) とおくと、
平行四辺形 \({\rm ADBC}\) の対角線 \({\rm AB}~,~\)\({\rm DC}\) の中点は一致する
2点 \({\rm A}(-3~,~2)~,~\)\({\rm B}(2~,~-2)\) の中点は、
\(x\) 座標が、
\(\displaystyle \frac{\,-3+2\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,-1\,}{\,2\,}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\(y\) 座標が、
\(\displaystyle \frac{\,2+(-2)\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,0\,}{\,2\,}=0\)
よって、\(\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~0\right)\) \(~~~\cdots{\small [\,1\,]}\)
また、2点 \({\rm D}(x~,~y)~,~\)\({\rm C}(4~,~3)\) の中点は、
\(x\) 座標が、
\(\displaystyle \frac{\,x+4\,}{\,2\,}\)
\(y\) 座標が、
\(\displaystyle \frac{\,y+3\,}{\,2\,}\)
よって、\(\left(\displaystyle \frac{\,x+4\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,y+3\,}{\,2\,}\right)\) \(~~~\cdots{\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) より、中点の \(x\) 座標について、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,x+4\,}{\,2\,}&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\\[3pt]~~~x+4&=&-1\\[3pt]~~~x&=&-5\end{eqnarray}\)
また、中点の \(y\) 座標について、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,y+3\,}{\,2\,}&=&0\\[3pt]~~~y+3&=&0\\[3pt]~~~y&=&-3\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm D}(-5~,~-3)\) となる
以上より、頂点 \({\rm D}\) となりうる点の座標は、
\({\rm D}(-1~,~7)~,~(9~,~-1)~,~(-5~,~-3)\)
問題アーカイブ03
問題アーカイブ034点 \({\rm A}(1~,~1)~,~\)\({\rm B}(4~,~3)~,~\)\({\rm C}(2~,~6)~,~\)\({\rm D}\) を頂点とする平行四辺形 \({\rm ABCD}\) について、次の点の座標を求めよ。
\({\small (1)}~\)対角線 \({\rm AC}\) の中点 \({\rm M}\)
\({\small (2)}~\)頂点 \({\rm D}\)
\({\small (1)}~\)対角線 \({\rm AC}\) の中点 \({\rm M}\)
\({\small (2)}~\)頂点 \({\rm D}\)
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.85 問題 2
\({\small (1)}~\)2点 \({\rm A}(1~,~1)~,~\)\({\rm C}(2~,~6)\) の中点 \({\rm M}\)は、
\(x\) 座標が、
\(\displaystyle \frac{\,1+2\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\)
\(y\) 座標が、
\(\displaystyle \frac{\,1+6\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}\)
したがって、\({\rm M}\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}\right)\) \(~~~\cdots{\small [\,1\,]}\)
\({\small (2)}~\)点 \({\rm D}\) の座標を \({\rm D}(x~,~y)\) とおくと、
平行四辺形 \({\rm ABCD}\) の対角線 \({\rm AC}~,~\)\({\rm BD}\) の中点は一致する
\({\small [\,1\,]}\) より、対角線 \({\rm AC}\) の中点 \({\rm M}\)は、
\(\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}\right)\)
また、2点 \({\rm B}(4~,~3)~,~\)\({\rm D}(x~,~y)\) の中点は、
\(x\) 座標が、
\(\displaystyle \frac{\,4+x\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,x+4\,}{\,2\,}\)
\(y\) 座標が、
\(\displaystyle \frac{\,3+y\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,y+3\,}{\,2\,}\)
よって、\(\left(\displaystyle \frac{\,x+4\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,y+3\,}{\,2\,}\right)\) \(~~~\cdots{\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) より、中点の \(x\) 座標について、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,x+4\,}{\,2\,}&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\\[3pt]~~~x+4&=&3\\[3pt]~~~x&=&-1\end{eqnarray}\)
また、中点の \(y\) 座標について、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,y+3\,}{\,2\,}&=&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}\\[3pt]~~~y+3&=&7\\[3pt]~~~y&=&4\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm D}(-1~,~4)\) となる
問題アーカイブ04
問題アーカイブ044点 \({\rm A}(-1~,~-1)~,~\)\({\rm B}(5~,~-2)~,~\)\({\rm C}(3~,~3)~,~\)\({\rm D}\) を頂点とする平行四辺形 \({\rm ABCD}\) について、次の点の座標を求めよ。
\({\small (1)}~\)対角線 \({\rm AC}\) の中点 \({\rm M}\)
\({\small (2)}~\)頂点 \({\rm D}\)
\({\small (1)}~\)対角線 \({\rm AC}\) の中点 \({\rm M}\)
\({\small (2)}~\)頂点 \({\rm D}\)
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.69 問10
\({\small (1)}~\)2点 \({\rm A}(-1~,~-1)~,~\)\({\rm C}(3~,~3)\) の中点 \({\rm M}\)は、
\(x\) 座標が、
\(\displaystyle \frac{\,-1+3\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,2\,}=1\)
\(y\) 座標が、
\(\displaystyle \frac{\,-1+3\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,2\,}=1\)
したがって、\({\rm M}(1~,~1)\) \(~~~\cdots{\small [\,1\,]}\)
\({\small (2)}~\)点 \({\rm D}\) の座標を \({\rm D}(x~,~y)\) とおくと、
平行四辺形 \({\rm ABCD}\) の対角線 \({\rm AC}~,~\)\({\rm BD}\) の中点は一致する
\({\small [\,1\,]}\) より、対角線 \({\rm AC}\) の中点 \({\rm M}\)は、
\((1~,~1)\)
また、2点 \({\rm B}(5~,~-2)~,~\)\({\rm D}(x~,~y)\) の中点は、
\(x\) 座標が、
\(\displaystyle \frac{\,5+x\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,x+5\,}{\,2\,}\)
\(y\) 座標が、
\(\displaystyle \frac{\,-2+y\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,y-2\,}{\,2\,}\)
よって、\(\left(\displaystyle \frac{\,x+5\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,y-2\,}{\,2\,}\right)\) \(~~~\cdots{\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) より、中点の \(x\) 座標について、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,x+5\,}{\,2\,}&=&1\\[3pt]~~~x+5&=&2\\[3pt]~~~x&=&-3\end{eqnarray}\)
また、中点の \(y\) 座標について、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,y-2\,}{\,2\,}&=&1\\[3pt]~~~y-2&=&2\\[3pt]~~~y&=&4\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm D}(-3~,~4)\) となる
問題アーカイブ05
問題アーカイブ054点 \({\rm A}(-1~,~-3)~,~\)\({\rm B}(5~,~-1)~,~\)\({\rm C}(3~,~3)~,~\)\({\rm D}\) を頂点とする平行四辺形 \({\rm ABCD}\) の頂点 \({\rm D}\) の座標を求めよ。
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.114 Level Up 2
点 \({\rm D}\) の座標を \({\rm D}(x~,~y)\) とおくと、
平行四辺形 \({\rm ABCD}\) の対角線 \({\rm AC}~,~\)\({\rm BD}\) の中点は一致する
2点 \({\rm A}(-1~,~-3)~,~\)\({\rm C}(3~,~3)\) の中点は、
\(x\) 座標が、
\(\displaystyle \frac{\,-1+3\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,2\,}=1\)
\(y\) 座標が、
\(\displaystyle \frac{\,-3+3\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,0\,}{\,2\,}=0\)
よって、\((1~,~0)\) \(~~~\cdots{\small [\,1\,]}\)
また、2点 \({\rm B}(5~,~-1)~,~\)\({\rm D}(x~,~y)\) の中点は、
\(x\) 座標が、
\(\displaystyle \frac{\,5+x\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,x+5\,}{\,2\,}\)
\(y\) 座標が、
\(\displaystyle \frac{\,-1+y\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,y-1\,}{\,2\,}\)
よって、\(\left(\displaystyle \frac{\,x+5\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,y-1\,}{\,2\,}\right)\) \(~~~\cdots{\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) より、中点の \(x\) 座標について、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,x+5\,}{\,2\,}&=&1\\[3pt]~~~x+5&=&2\\[3pt]~~~x&=&-3\end{eqnarray}\)
また、中点の \(y\) 座標について、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,y-1\,}{\,2\,}&=&0\\[3pt]~~~y-1&=&0\\[3pt]~~~y&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm D}(-3~,~1)\) となる
