直線に平行・垂直な直線の方程式

直線 \(2x-y-3=0\) において、

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\(\begin{eqnarray}~~~2x-y-3&=&0
\\[3pt]~~~-y&=&-2x+3
\\[3pt]~~~y&=&2x-3\end{eqnarray}\)

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これより、傾きは \(2\) である

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この直線に平行な直線は、傾き \(2\) で、点 \((3~,~1)\) を通るので、

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\(\begin{eqnarray}~~~y-1&=&2(x-3)
\\[3pt]~~~y-1&=&2x-6
\\[3pt]~~~-2x+y-1+6&=&0
\\[3pt]~~~-2x+y+5&=&0
\\[3pt]~~~2x-y-5&=&0\end{eqnarray}\)

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この直線に垂直な直線の傾きを \(m\) とすると、傾きの積が \(-1\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~2{\, \small \times \,}m&=&-1
\\[3pt]~~~m&=&-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

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よって、傾き \(-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\) で、点 \((3~,~1)\) を通るので、

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\(\begin{eqnarray}~~~y-1&=&-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}(x-3)
\\[5pt]~~~2y-2&=&-(x-3)
\\[3pt]~~~2y-2&=&-x+3
\\[3pt]~~~x+2y-2-3&=&0
\\[3pt]~~~x+2y-5&=&0\end{eqnarray}\)

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したがって、

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　平行な直線 \(2x-y-5=0\)
　垂直な直線　\(x+2y-5=0\)