- 数学Ⅱ｜図形と方程式「一般式の2直線の平行・垂直条件」の基本例題解説ページです。
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問題｜一般式の2直線の平行・垂直条件
図形と方程式 18☆2直線 \(a_1x+b_1y+c_1=0~,~\)\(a_2x+b_2y+c_2=0\) が平行or垂直の判別方法は？ただし、\(b_1\neq 0~,~b_2\neq 0\) とする。
高校数学Ⅱ｜図形と方程式
解法のPoint
一般式の2直線の平行・垂直条件
Point：一般式の2直線の平行・垂直条件
\(\begin{eqnarray}~~~a_1x+b_1y+c_1&=&0
\\[3pt]~~~a_2x+b_2y+c_2&=&0\end{eqnarray}\)
について、
2直線が平行 \(~\Leftrightarrow~~ a_1\,b_2-b_1\,a_2=0\)
2直線が垂直 \(~\Leftrightarrow~~a_1\,a_2+b_1\,b_2=0\)
が成り立つ。
一般形の2直線
\(\begin{eqnarray}~~~a_1x+b_1y+c_1&=&0
\\[3pt]~~~a_2x+b_2y+c_2&=&0\end{eqnarray}\)
について、
2直線が平行 \(~\Leftrightarrow~~ a_1\,b_2-b_1\,a_2=0\)
2直線が垂直 \(~\Leftrightarrow~~a_1\,a_2+b_1\,b_2=0\)
が成り立つ。
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詳しい解説｜一般式の2直線の平行・垂直条件
図形と方程式 18☆
2直線 \(a_1x+b_1y+c_1=0~,~\)\(a_2x+b_2y+c_2=0\) が平行or垂直の判別方法は？ただし、\(b_1\neq 0~,~b_2\neq 0\) とする。
高校数学Ⅱ｜図形と方程式
\(a_1x+b_1y+c_1=0\) の傾きは、\(b_1\neq 0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~b_1y&=&-a_1x-c_1
\\[3pt]~~~y&=&-\displaystyle\frac{\,a_1\,}{\,b_1\,}x-\displaystyle\frac{\,c_1\,}{\,b_1\,}\end{eqnarray}\)
傾き \(\displaystyle -\frac{\,a_1\,}{\,b_1\,}\) となる
\(a_2x+b_2y+c_2=0\) の傾きは、\(b_2\neq 0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~b_2y&=&-a_2x-c_2
\\[3pt]~~~y&=&-\displaystyle\frac{\,a_2\,}{\,b_2\,}x-\displaystyle\frac{\,c_2\,}{\,b_2\,}\end{eqnarray}\)
傾き \(\displaystyle -\frac{\,a_2\,}{\,b_2\,}\) となる
2直線が平行のとき傾きが等しいので、
\(\begin{eqnarray}~~~-\displaystyle\frac{\,a_1\,}{\,b_1\,}&=&-\displaystyle\frac{\,a_2\,}{\,b_2\,}
\\[5pt]~~~a_1\,b_2&=&a_2\,b_1
\\[3pt]~~~a_1\,b_2-b_1\,a_2&=&0\end{eqnarray}\)
2直線が垂直のとき、傾きの積が \(-1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(-\displaystyle\frac{\,a_1\,}{\,b_1\,}\right)\times\left(-\displaystyle\frac{\,a_2\,}{\,b_2\,}\right)&=&-1
\\[5pt]~~~\displaystyle\frac{\,a_1\,a_2\,}{\,b_1\,b_2\,}&=&-1
\\[5pt]~~~a_1\,a_2&=&-b_1\,b_2
\\[3pt]~~~a_1\,a_2+b_1\,b_2&=&0\end{eqnarray}\)
したがって、
2直線が平行のとき、\(a_1\,b_2-b_1\,a_2=0\)
2直線が垂直のとき、\(a_1\,a_2+b_1\,b_2=0\)
