- 数学Ⅱ｜図形と方程式「連立方程式の解と2直線の関係」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜連立方程式の解と2直線の関係
図形と方程式 19連立方程式 \(2x-y-3=0~,~\)\(ax-y+c=0\) が、ただ1組の解をもつ or 解をもたない or 無数の解をもつためのそれぞれの必要十分条件は？
高校数学Ⅱ｜図形と方程式
解法のPoint
連立方程式の解と2直線の関係
Point：連立方程式の解と2直線の関係
\({\small [\,1\,]}\) ただ1組の解をもつ条件
\(\Leftrightarrow\) 2直線が1点で交わる
平行でないことから、
必要十分条件は、傾きが異なる
\(\Leftrightarrow\) 2直線が平行で一致しない
必要十分条件は、傾きが等しく、切片が異なる
\(\Leftrightarrow\) 2直線が一致する
必要十分条件は、傾きも切片も等しい
連立方程式の解の条件と2直線の位置関係は、
\({\small [\,1\,]}\) ただ1組の解をもつ条件
\(\Leftrightarrow\) 2直線が1点で交わる
平行でないことから、
必要十分条件は、傾きが異なる
\({\small [\,2\,]}\) 解をもたない条件
\(\Leftrightarrow\) 2直線が平行で一致しない
必要十分条件は、傾きが等しく、切片が異なる
\({\small [\,3\,]}\) 無数の解をもつ条件
\(\Leftrightarrow\) 2直線が一致する
必要十分条件は、傾きも切片も等しい
©︎ 2026 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜連立方程式の解と2直線の関係
図形と方程式 19
連立方程式 \(2x-y-3=0~,~\)\(ax-y+c=0\) が、ただ1組の解をもつ or 解をもたない or 無数の解をもつためのそれぞれの必要十分条件は？
高校数学Ⅱ｜図形と方程式
それぞれの1次方程式を直線の方程式と考え、傾きと切片を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~2x-y-3&=&0
\\[3pt]~~~-y&=&-2x+3
\\[3pt]~~~y&=&2x-3\end{eqnarray}\)
よって、傾きは \(2\)、切片は \(-3\)
\(\begin{eqnarray}~~~ax-y+c&=&0
\\[3pt]~~~-y&=&-ax-c
\\[3pt]~~~y&=&ax+c\end{eqnarray}\)
よって、傾きは \(a\)、切片は \(c\)
連立方程式がただ1組の解をもつとき、
\(\Leftrightarrow\) 2直線が1点で交わる
\(\Leftrightarrow\) 2直線が平行にならない
よって、必要十分条件は、\(a\neq 2\)
連立方程式が解をもたないとき、
\(\Leftrightarrow\) 2直線が平行で一致しない
\(\Leftrightarrow\) 傾きが等しいが切片が等しくない
よって、必要十分条件は \(a=2\) かつ \(c\neq -3\)
連立方程式が無数の解をもつとき、
\(\Leftrightarrow\) 2直線が一致する
\(\Leftrightarrow\) 傾きも切片も等しい
よって、必要十分条件は \(a=2\) かつ \(c=-3\)
