直線がkの値に関係なく通る点

直線の方程式を \(k\) について整理すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~(k+2)x+(k-1)y-6k-3&=&0
\\[3pt]~~~kx+2x+ky-y-6k-3&=&0
\\[3pt]~~~kx+ky-6k+2x-y-3&=&0
\\[3pt]~~~k(x+y-6)+(2x-y-3)&=&0\end{eqnarray}\)

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この等式が \(k\) の値に関係なく成り立つには、

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　\(\left\{~\begin{array}{l}x+y-6=0~~~\hspace{5pt}\cdots{\small [\,1\,]}
\\2x-y-3=0~~~\cdots{\small [\,2\,]}\end{array}\right.\)

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\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) を同時に満たすと成り立つ

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\({\small [\,1\,]}+{\small [\,2\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~~~
x+y-6&=&0 ~~
+\big{)}~~2x-y-3&=&0\\
\hline 3x-9&=&0
\\[3pt] 3x&=&9
\\[3pt] x&=&3
\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~3+y-6&=&0
\\[3pt]~~~y-3&=&0
\\[3pt]~~~y&=&3\end{eqnarray}\)

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したがって、
\(k\) の値に関係なく通る点は \((3~,~3)\) となる