このページは、「直線がkの値に関係なく通る点」の練習問題アーカイブページとなります。
この問題の解き方の詳細は↓
直線がkの値に関係なく通る点 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(k\) は定数とする。直線 \((2k+1)x+(k+4)y-k+3=0\) は，\(k\) の値に関係なく定点を通る。その定点の座標を求めよ。また，この直線が点 \((-1~,~1)\) を通るように，\(k\) の値を定めよ。
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.120 演習問題A 3
直線の方程式を \(k\) について整理すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(2k+1)x+(k+4)y-k+3&=&0
\\[3pt]~~~2kx+x+ky+4y-k+3&=&0
\\[3pt]~~~2kx+ky-k+x+4y+3&=&0
\\[3pt]~~~k(2x+y-1)+(x+4y+3)&=&0\end{eqnarray}\)
この等式が \(k\) の値に関係なく成り立つには、
\(\left\{~\begin{array}{l}2x+y-1=0~\hspace{5pt}\cdots{\small [\,1\,]}
\\x+4y+3=0~\cdots{\small [\,2\,]}\end{array}\right.\)
\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) を同時に満たすと成り立つ
\({\small [\,1\,]}-2{\small \times}{\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~
2x+y-1&=&0 \\[3pt]~~
-)~~2x+8y+6&=&0\\
\hline -7y-7&=&0
\\[3pt] -7y&=&7
\\[3pt] y&=&-1
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x+4 \cdot (-1)+3&=&0
\\[3pt]~~~x-4+3&=&0
\\[3pt]~~~x-1&=&0
\\[3pt]~~~x&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、
\(k\) の値に関係なく通る定点は \((1~,~-1)\) となる
また、この直線が点 \((-1~,~1)\) を通るとき、
\((2k+1)x+(k+4)y-k+3=0\) に \((x~,~y)=(-1~,~1)\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(2k+1) \cdot (-1)+(k+4) \cdot 1-k+3&=&0
\\[3pt]~~~-2k-1+k+4-k+3&=&0
\\[3pt]~~~-2k+6&=&0
\\[3pt]~~~-2k&=&-6
\\[3pt]~~~k&=&3\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~-2k-1+k+4-k+3&=&0
\\[3pt]~~~-2k+6&=&0
\\[3pt]~~~-2k&=&-6
\\[3pt]~~~k&=&3\end{eqnarray}\)
したがって、\(k=3\)
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\(k\) は定数とする。直線 \((2k+3)x+(k-4)y-4k+5=0\) は，\(k\) の値に関係なく定点を通る。その定点の座標を求めよ。また，この直線が点 \((-1~,~0)\) を通るように，\(k\) の値を定めよ。
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.111 章末問題A 3
直線の方程式を \(k\) について整理すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(2k+3)x+(k-4)y-4k+5&=&0
\\[3pt]~~~2kx+3x+ky-4y-4k+5&=&0
\\[3pt]~~~2kx+ky-4k+3x-4y+5&=&0
\\[3pt]~~~k(2x+y-4)+(3x-4y+5)&=&0\end{eqnarray}\)
この等式が \(k\) の値に関係なく成り立つには、
\(\left\{~\begin{array}{l}2x+y-4=0~\hspace{5pt}\cdots{\small [\,1\,]}
\\3x-4y+5=0~\cdots{\small [\,2\,]}\end{array}\right.\)
\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) を同時に満たすと成り立つ
\({\small [\,1\,]}{\small \times}4+{\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~
8x+4y-16&=&0 \\[3pt]~~
+)~~~3x-4y+5&=&0\\
\hline 11x-11&=&0
\\[3pt] 11x&=&11
\\[3pt] x&=&1
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~2 \cdot 1+y-4&=&0
\\[3pt]~~~2+y-4&=&0
\\[3pt]~~~y-2&=&0
\\[3pt]~~~y&=&2\end{eqnarray}\)
したがって、
\(k\) の値に関係なく通る定点は \((1~,~2)\) となる
また、この直線が点 \((-1~,~0)\) を通るとき、
\((2k+3)x+(k-4)y-4k+5=0\) に \((x~,~y)=(-1~,~0)\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(2k+3) \cdot (-1)+(k-4) \cdot 0-4k+5&=&0
\\[3pt]~~~-2k-3+0-4k+5&=&0
\\[3pt]~~~-6k+2&=&0
\\[3pt]~~~-6k&=&-2
\\[3pt]~~~k&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~-2k-3+0-4k+5&=&0
\\[3pt]~~~-6k+2&=&0
\\[3pt]~~~-6k&=&-2
\\[3pt]~~~k&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(k=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\)
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03直線 \((k+2)x+(4k-3)y-5k+12=0\) は，定数 \(k\) の値に関係なく定点を通る。その定点の座標を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.110 練習問題A 2
直線の方程式を \(k\) について整理すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(k+2)x+(4k-3)y-5k+12&=&0
\\[3pt]~~~kx+2x+4ky-3y-5k+12&=&0
\\[3pt]~~~kx+4ky-5k+2x-3y+12&=&0
\\[3pt]~~~k(x+4y-5)+(2x-3y+12)&=&0\end{eqnarray}\)
この等式が \(k\) の値に関係なく成り立つには、
\(\left\{~\begin{array}{l}x+4y-5=0~\hspace{5pt}\cdots{\small [\,1\,]}
\\2x-3y+12=0~\cdots{\small [\,2\,]}\end{array}\right.\)
\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) を同時に満たすと成り立つ
\({\small [\,1\,]}{\small \times}2-{\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~
2x+8y-10&=&0 \\[3pt]~~
-)~~2x-3y+12&=&0\\
\hline 11y-22&=&0
\\[3pt] 11y&=&22
\\[3pt] y&=&2
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x+4 \cdot 2-5&=&0
\\[3pt]~~~x+8-5&=&0
\\[3pt]~~~x+3&=&0
\\[3pt]~~~x&=&-3\end{eqnarray}\)
したがって、
\(k\) の値に関係なく通る定点は \((-3~,~2)\) となる
