座標平面を用いた垂心の証明

[証明] 座標平面において、辺 \({\rm BC}\) を \(x\) 軸、垂線 \({\rm AL}\) を \(y\) 軸、点 \({\rm L}\) を原点 \((0~,~0)\) にとる

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また、3つの頂点を \({\rm A}(0~,~a)~,~\)\({\rm B}(-b~,~0)~,~\)\({\rm C}(c~,~0)\) \(~~(\,a \neq 0\,)\) とおくと、

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\({\small (1)}~\)\(b=0\) のとき、点 \({\rm B}\) と点 \({\rm L}\) が一致し、直角三角形となり、3本の垂線は頂点で交わる

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\({\small (2)}~\)\(c=0\) のとき、点 \({\rm C}\) と点 \({\rm L}\) が一致し、直角三角形となり、3本の垂線は頂点で交わる

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\({\small (3)}~\)\(b \neq 0\) かつ \(c \neq 0\) のとき、

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直線 \({\rm AB}\) の傾きは \(\displaystyle\frac{\,a-0\,}{\,0-(-b)\,}=\frac{\,a\,}{\,b\,}\) より、

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直線 \({\rm CN}\) の傾きは \(\displaystyle -\frac{\,b\,}{\,a\,}\) となる
　\((\,∵~\)傾きの積が \(-1\,)\)

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直線 \({\rm CN}\) は点 \({\rm C}(c~,~0)\) を通るので、

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\(\begin{eqnarray}~~~y-0&=&\displaystyle -\frac{\,b\,}{\,a\,}(x-c)
\\[3pt]~~~y&=&\displaystyle -\frac{\,b\,}{\,a\,}x+\frac{\,bc\,}{\,a\,}~~~\cdots{\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)

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次に、直線 \({\rm AC}\) の傾きは \(\displaystyle\frac{\,a-0\,}{\,0-c\,}=\displaystyle -\frac{\,a\,}{\,c\,}\) より、

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直線 \({\rm BM}\) の傾きは \(\displaystyle \frac{\,c\,}{\,a\,}\) となる
　\((\,∵~\)傾きの積が \(-1\,)\)

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直線 \({\rm BM}\) は点 \({\rm B}(-b~,~0)\) を通るので、

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\(\begin{eqnarray}~~~y-0&=&\displaystyle \frac{\,c\,}{\,a\,}\left\{x-(-b)\right\}
\\[3pt]~~~y&=&\displaystyle \frac{\,c\,}{\,a\,}x+\frac{\,bc\,}{\,a\,}~~~\cdots{\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) はともに \(y\) 軸との交点 \(\displaystyle {\rm H}\left(0~,~\frac{\,bc\,}{\,a\,}\right)\) を通り、直線 \({\rm AL}\) も \(y\) 軸上の点 \({\rm H}\) を通る

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したがって、3本の垂線は1点で交わる [終]