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問題アーカイブ01
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.90 練習19
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.81 問26
[証明] 座標平面において、辺 \({\rm BC}\) を \(x\) 軸、辺 \({\rm BC}\) の垂直二等分線を \(y\) 軸、辺 \({\rm BC}\) の中点 \({\rm L}\) を原点 \((0~,~0)\) にとる
また、3つの頂点を \({\rm A}(a~,~b)~,~\)\({\rm B}(-c~,~0)~,~\)\({\rm C}(c~,~0)\) \(~~(\,b \neq 0~,~c \gt 0\,)\) とおくと、
辺 \({\rm BC}\) の垂直二等分線は \(y\) 軸上、すなわち直線 \(x=0\) である
直線 \({\rm AB}\) の傾きは \(\displaystyle\frac{\,b-0\,}{\,a-(-c)\,}=\frac{\,b\,}{\,a+c\,}\)
辺 \({\rm AB}\) の垂直二等分線の傾きは \(\displaystyle -\frac{\,a+c\,}{\,b\,}\) となる
\((\,∵~\)傾きの積が \(-1\,)\)
また、点 \({\rm N}\) は辺 \({\rm AB}\) の中点より、
\(\displaystyle {\rm N}\left(\frac{\,a-c\,}{\,2\,}~,~\frac{\,b\,}{\,2\,}\right)\)
これより、辺 \({\rm AB}\) の垂直二等分線の方程式は、
\\[5pt]~~~y&=&\displaystyle -\frac{\,a+c\,}{\,b\,}x+\frac{\,(a+c)(a-c)\,}{\,2b\,}+\frac{\,b\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~y&=&\displaystyle -\frac{\,a+c\,}{\,b\,}x+\frac{\,a^2-c^2\,}{\,2b\,}+\frac{\,b^2\,}{\,2b\,}
\\[5pt]~~~y&=&\displaystyle -\frac{\,a+c\,}{\,b\,}x+\frac{\,a^2+b^2-c^2\,}{\,2b\,}~~~\cdots{\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
次に、直線 \({\rm AC}\) の傾きは \(\displaystyle\frac{\,b-0\,}{\,a-c\,}=\frac{\,b\,}{\,a-c\,}\)
辺 \({\rm AC}\) の垂直二等分線の傾きは \(\displaystyle -\frac{\,a-c\,}{\,b\,}\) となる
\((\,∵~\)傾きの積が \(-1\,)\)
また、点 \({\rm M}\) は辺 \({\rm AC}\) の中点より、
\(\displaystyle {\rm M}\left(\frac{\,a+c\,}{\,2\,}~,~\frac{\,b\,}{\,2\,}\right)\)
これより、辺 \({\rm AC}\) の垂直二等分線の方程式は、
\\[5pt]~~~y&=&\displaystyle -\frac{\,a-c\,}{\,b\,}x+\frac{\,(a-c)(a+c)\,}{\,2b\,}+\frac{\,b\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~y&=&\displaystyle -\frac{\,a-c\,}{\,b\,}x+\frac{\,a^2-c^2\,}{\,2b\,}+\frac{\,b^2\,}{\,2b\,}
\\[5pt]~~~y&=&\displaystyle -\frac{\,a-c\,}{\,b\,}x+\frac{\,a^2+b^2-c^2\,}{\,2b\,}~~~\cdots{\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) はともに \(y\) 軸との交点 \(\displaystyle {\rm P}\left(0~,~\frac{\,a^2+b^2-c^2\,}{\,2b\,}\right)\) を通り、辺 \({\rm BC}\) の垂直二等分線も \(y\) 軸上の点 \({\rm P}\) を通る
したがって、3辺の垂直二等分線は1点で交わる [終]
