直線に関して点と対称な点の座標

直線 \(x-2y+2=0\) を \(l\) 、点 \({\rm B}\) の座標を \((a~,~b)\) とおくと、

---

---

直線 \(l\) の傾きは、

---

\(\begin{eqnarray}~~~x-2y+2&=&0
\\[3pt]~~~-2y&=&-x-2
\\[5pt]~~~y&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}x+1\end{eqnarray}\)

---

よって、\(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\) である

---

また、直線 \({\rm AB}\) の傾きは、\(\displaystyle\frac{\,b-4\,}{\,a-1\,}\) であり、直線 \(l\) と直線 \({\rm AB}\) は垂直に交わるので、傾きの積は \(-1\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot\displaystyle\frac{\,b-4\,}{\,a-1\,}&=&-1
\\[5pt]~~~\displaystyle\frac{\,b-4\,}{\,2(a-1)\,}&=&-1
\\[5pt]~~~b-4&=&-2(a-1)
\\[3pt]~~~b-4&=&-2a+2
\\[3pt]~~~2a+b&=&2+4
\\[3pt]~~~2a+b&=&6~~~\cdots{\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)

---

次に、線分 \({\rm AB}\) の中点 \({\rm M}\) の座標は、

---

　\({\rm M}\left(\displaystyle\frac{\,1+a\,}{\,2\,}~,~\displaystyle\frac{\,4+b\,}{\,2\,}\right)\)

---

この点 \({\rm M}\) は直線 \(l\) 上にあるので、\(x-2y+2=0\) に代入すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,1+a\,}{\,2\,}-2\cdot\displaystyle\frac{\,4+b\,}{\,2\,}+2&=&0
\\[5pt]~~~(1+a)-2(4+b)+2{\, \small \times \,} 2&=&0~~~(\,∵~{\, \small \times \,} 2\,)
\\[3pt]~~~1+a-8-2b+4&=&0
\\[3pt]~~~a-2b&=&3~~~\cdots{\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)

---

\({\small [\,1\,]}{\, \small \times \,} 2+{\small [\,2\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~~~
4a+2b&=&12 \\~~
+\big{)}~~~a-2b&=&3\\
\hline 5a&=&15
\\[3pt] a&=&3\end{eqnarray}\)

---

\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~2{\, \small \times \,} 3+b&=&6
\\[3pt]~~~6+b&=&6
\\[3pt]~~~b&=&0\end{eqnarray}\)

---

したがって、点 \({\rm B}\) の座標は \((3~,~0)\) となる