直線に関して点と対称な点の座標

数研出版｜数学Ⅱ[709] p.87 練習17

\({\small (1)}~\)直線 \(y=x\) を \(l\) 、点 \({\rm B}\) の座標を \((a~,~b)\) とおく

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直線 \(l\) の傾きは、\(1\) である

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また、直線 \({\rm AB}\) の傾きは、\(\displaystyle\frac{\,b-1\,}{\,a-3\,}\) であり、直線 \(l\) と直線 \({\rm AB}\) は垂直に交わるので、傾きの積は \(-1\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~1\cdot\displaystyle\frac{\,b-1\,}{\,a-3\,}&=&-1
\\[5pt]~~~b-1&=&-(a-3)
\\[3pt]~b-1&=&-a+3
\\[3pt]~a+b&=&4~\cdots{\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)

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次に、線分 \({\rm AB}\) の中点 \({\rm M}\) の座標は、

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　\({\rm M}\left(\displaystyle\frac{\,3+a\,}{\,2\,}~,~\displaystyle\frac{\,1+b\,}{\,2\,}\right)\)

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この点 \({\rm M}\) は直線 \(l\) 上にあるので、\(y=x\) に代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~\displaystyle\frac{\,1+b\,}{\,2\,}&=&\displaystyle\frac{\,3+a\,}{\,2\,}
\\[5pt]~1+b&=&3+a
\\[3pt]~-a+b&=&2~\cdots{\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}+{\small [\,2\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~
a+b&=&4 \\~~
+\big{)}~~~-a+b&=&2\\
\hline 2b&=&6
\\[3pt] b&=&3\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~a+3&=&4
\\[3pt]~~~a&=&1\end{eqnarray}\)

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したがって、点 \({\rm B}\) の座標は \((1~,~3)\) となる

 

\({\small (2)}~\)直線 \(4x-6y+7=0\) を \(l\) 、点 \({\rm B}\) の座標を \((a~,~b)\) とおく

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直線 \(l\) の傾きは、

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\(\begin{eqnarray}~~~4x-6y+7&=&0
\\[3pt]~~~-6y&=&-4x-7
\\[5pt]~~~y&=&\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}x+\displaystyle\frac{\,7\,}{\,6\,}\end{eqnarray}\)

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よって、\(\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\) である

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また、直線 \({\rm AB}\) の傾きは、\(\displaystyle\frac{\,b-1\,}{\,a-3\,}\) であり、直線 \(l\) と直線 \({\rm AB}\) は垂直に交わるので、傾きの積は \(-1\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\cdot\displaystyle\frac{\,b-1\,}{\,a-3\,}&=&-1
\\[5pt]~~~\displaystyle\frac{\,2(b-1)\,}{\,3(a-3)\,}&=&-1
\\[5pt]~2(b-1)&=&-3(a-3)
\\[3pt]~2b-2&=&-3a+9
\\[3pt]~3a+2b&=&11~\cdots{\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)

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次に、線分 \({\rm AB}\) の中点 \({\rm M}\) の座標は、

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　\({\rm M}\left(\displaystyle\frac{\,3+a\,}{\,2\,}~,~\displaystyle\frac{\,1+b\,}{\,2\,}\right)\)

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この点 \({\rm M}\) は直線 \(l\) 上にあるので、\(4x-6y+7=0\) に代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~4\cdot\displaystyle\frac{\,3+a\,}{\,2\,}-6\cdot\displaystyle\frac{\,1+b\,}{\,2\,}+7&=&0
\\[5pt]~2(3+a)-3(1+b)+7&=&0
\\[3pt]~6+2a-3-3b+7&=&0
\\[3pt]~2a-3b&=&-10~\cdots{\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}{\, \small \times \,} 3+{\small [\,2\,]}{\, \small \times \,} 2\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~
9a+6b&=&33 \\~~
+\big{)}~~~4a-6b&=&-20\\
\hline 13a&=&13
\\[3pt] a&=&1\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~3{\, \small \times \,} 1+2b&=&11
\\[3pt]~~~2b&=&8
\\[3pt]~~~b&=&4\end{eqnarray}\)

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したがって、点 \({\rm B}\) の座標は \((1~,~4)\) となる

数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.81 練習18

直線 \(2x-y+2=0\) を \(l\) 、点 \({\rm B}\) の座標を \((a~,~b)\) とおく

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直線 \(l\) の傾きは、

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\(\begin{eqnarray}~~~2x-y+2&=&0
\\[3pt]~~~-y&=&-2x-2
\\[3pt]~~~y&=&2x+2\end{eqnarray}\)

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よって、\(2\) である

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また、直線 \({\rm AB}\) の傾きは、\(\displaystyle\frac{\,b-1\,}{\,a-2\,}\) であり、直線 \(l\) と直線 \({\rm AB}\) は垂直に交わるので、傾きの積は \(-1\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~2\cdot\displaystyle\frac{\,b-1\,}{\,a-2\,}&=&-1
\\[5pt]~~~\displaystyle\frac{\,2(b-1)\,}{\,a-2\,}&=&-1
\\[5pt]~2(b-1)&=&-(a-2)
\\[3pt]~2b-2&=&-a+2
\\[3pt]~a+2b&=&4~\cdots{\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)

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次に、線分 \({\rm AB}\) の中点 \({\rm M}\) の座標は、

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　\({\rm M}\left(\displaystyle\frac{\,2+a\,}{\,2\,}~,~\displaystyle\frac{\,1+b\,}{\,2\,}\right)\)

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この点 \({\rm M}\) は直線 \(l\) 上にあるので、\(2x-y+2=0\) に代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~2\cdot\displaystyle\frac{\,2+a\,}{\,2\,}-\displaystyle\frac{\,1+b\,}{\,2\,}+2&=&0
\\[5pt]~2(2+a)-(1+b)+2{\, \small \times \,} 2&=&0~(\,∵~{\, \small \times \,} 2\,)
\\[3pt]~4+2a-1-b+4&=&0
\\[3pt]~2a-b&=&-7~\cdots{\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}+{\small [\,2\,]}{\, \small \times \,} 2\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~
a+2b&=&4 \\~~
+\big{)}~~~4a-2b&=&-14\\
\hline 5a&=&-10
\\[3pt] a&=&-2\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~-2+2b&=&4
\\[3pt]~~~2b&=&6
\\[3pt]~~~b&=&3\end{eqnarray}\)

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したがって、点 \({\rm B}\) の座標は \((-2~,~3)\) となる

数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.85 問題 7

[証明] 直線 \(y=x\) を \(l\) とし、直線 \(l\) に関して点 \({\rm A}(a~,~b)\) と対称な点を \((p~,~q)\) とおく

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直線 \(l\) の傾きは、\(1\) である

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また、点 \({\rm A}\) と点 \((p~,~q)\) を通る直線の傾きは、\(\displaystyle\frac{\,q-b\,}{\,p-a\,}\) であり、直線 \(l\) と垂直に交わるので、傾きの積は \(-1\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~1\cdot\displaystyle\frac{\,q-b\,}{\,p-a\,}&=&-1
\\[5pt]~~~q-b&=&-(p-a)
\\[3pt]~q-b&=&-p+a
\\[3pt]~p+q&=&a+b~\cdots{\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)

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次に、点 \({\rm A}(a~,~b)\) と点 \((p~,~q)\) の中点 \({\rm M}\) の座標は、

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　\({\rm M}\left(\displaystyle\frac{\,a+p\,}{\,2\,}~,~\displaystyle\frac{\,b+q\,}{\,2\,}\right)\)

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この点 \({\rm M}\) は直線 \(l\) 上にあるので、\(y=x\) に代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~\displaystyle\frac{\,b+q\,}{\,2\,}&=&\displaystyle\frac{\,a+p\,}{\,2\,}
\\[5pt]~b+q&=&a+p
\\[3pt]~-p+q&=&a-b~\cdots{\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}+{\small [\,2\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~
p+q&=&a+b \\~~
+\big{)}~~~-p+q&=&a-b\\
\hline 2q&=&2a
\\[3pt] q&=&a\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~p+a&=&a+b
\\[3pt]~~~p&=&b\end{eqnarray}\)

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したがって、点 \({\rm A}(a~,~b)\) と直線 \(l\) に関して対称な点の座標は \((b~,~a)\) となる

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よって、2点 \({\rm A}(a~,~b)\)、\({\rm B}(b~,~a)\) は、直線 \(y=x\) に関して対称である [終]

数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.81 練習16

直線 \(3x-2y-6=0\) を \(l\) 、点 \({\rm B}\) の座標を \((a~,~b)\) とおく

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直線 \(l\) の傾きは、

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\(\begin{eqnarray}~~~3x-2y-6&=&0
\\[3pt]~~~-2y&=&-3x+6
\\[5pt]~~~y&=&\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}x-3\end{eqnarray}\)

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よって、\(\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\) である

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また、直線 \({\rm AB}\) の傾きは、\(\displaystyle\frac{\,b-2\,}{\,a+1\,}\) であり、直線 \(l\) と直線 \({\rm AB}\) は垂直に交わるので、傾きの積は \(-1\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\cdot\displaystyle\frac{\,b-2\,}{\,a+1\,}&=&-1
\\[5pt]~~~\displaystyle\frac{\,3(b-2)\,}{\,2(a+1)\,}&=&-1
\\[5pt]~3(b-2)&=&-2(a+1)
\\[3pt]~3b-6&=&-2a-2
\\[3pt]~2a+3b&=&-2+6
\\[3pt]~2a+3b&=&4~\cdots{\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)

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次に、線分 \({\rm AB}\) の中点 \({\rm M}\) の座標は、

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　\({\rm M}\left(\displaystyle\frac{\,-1+a\,}{\,2\,}~,~\displaystyle\frac{\,2+b\,}{\,2\,}\right)\)

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この点 \({\rm M}\) は直線 \(l\) 上にあるので、\(3x-2y-6=0\) に代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~3\cdot\displaystyle\frac{\,-1+a\,}{\,2\,}-2\cdot\displaystyle\frac{\,2+b\,}{\,2\,}-6&=&0
\\[5pt]~3(-1+a)-2(2+b)-6{\, \small \times \,} 2&=&0~(\,∵~{\, \small \times \,} 2\,)
\\[3pt]~-3+3a-4-2b-12&=&0
\\[3pt]~3a-2b&=&19~\cdots{\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}{\, \small \times \,} 2+{\small [\,2\,]}{\, \small \times \,} 3\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~
4a+6b&=&8 \\~~
+\big{)}~~~9a-6b&=&57\\
\hline 13a&=&65
\\[3pt] a&=&5\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~2{\, \small \times \,} 5+3b&=&4
\\[3pt]~~~10+3b&=&4
\\[3pt]~~~3b&=&-6
\\[3pt]~~~b&=&-2\end{eqnarray}\)

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したがって、点 \({\rm B}\) の座標は \((5~,~-2)\) となる

東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.76 問20
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.84 問13

直線 \(4x-2y-3=0\) を \(l\) 、点 \({\rm B}\) の座標を \((a~,~b)\) とおく

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直線 \(l\) の傾きは、

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\(\begin{eqnarray}~~~4x-2y-3&=&0
\\[3pt]~~~-2y&=&-4x+3
\\[5pt]~~~y&=&2x-\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

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よって、\(2\) である

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また、直線 \({\rm AB}\) の傾きは、\(\displaystyle\frac{\,b+1\,}{\,a-4\,}\) であり、直線 \(l\) と直線 \({\rm AB}\) は垂直に交わるので、傾きの積は \(-1\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~2\cdot\displaystyle\frac{\,b+1\,}{\,a-4\,}&=&-1
\\[5pt]~~~\displaystyle\frac{\,2(b+1)\,}{\,a-4\,}&=&-1
\\[5pt]~2(b+1)&=&-(a-4)
\\[3pt]~2b+2&=&-a+4
\\[3pt]~a+2b&=&2~\cdots{\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)

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次に、線分 \({\rm AB}\) の中点 \({\rm M}\) の座標は、

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　\({\rm M}\left(\displaystyle\frac{\,4+a\,}{\,2\,}~,~\displaystyle\frac{\,-1+b\,}{\,2\,}\right)\)

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この点 \({\rm M}\) は直線 \(l\) 上にあるので、\(4x-2y-3=0\) に代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~4\cdot\displaystyle\frac{\,4+a\,}{\,2\,}-2\cdot\displaystyle\frac{\,-1+b\,}{\,2\,}-3&=&0
\\[5pt]~2(4+a)-(-1+b)-3&=&0
\\[3pt]~8+2a+1-b-3&=&0
\\[3pt]~2a-b&=&-6~\cdots{\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}+{\small [\,2\,]}{\, \small \times \,} 2\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~
a+2b&=&2 \\~~
+\big{)}~~~4a-2b&=&-12\\
\hline 5a&=&-10
\\[3pt] a&=&-2\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~-2+2b&=&2
\\[3pt]~~~2b&=&4
\\[3pt]~~~b&=&2\end{eqnarray}\)

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したがって、点 \({\rm B}\) の座標は \((-2~,~2)\) となる

東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.82 問題 7

直線 \(y=x\) を \(l\) 、点 \({\rm B}\) の座標を \((a~,~b)\) とおく

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直線 \(l\) の傾きは、\(1\) である

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また、直線 \({\rm AB}\) の傾きは、\(\displaystyle\frac{\,b-q\,}{\,a-p\,}\) であり、直線 \(l\) と直線 \({\rm AB}\) は垂直に交わるので、傾きの積は \(-1\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~1\cdot\displaystyle\frac{\,b-q\,}{\,a-p\,}&=&-1
\\[5pt]~~~b-q&=&-(a-p)
\\[3pt]~b-q&=&-a+p
\\[3pt]~a+b&=&p+q~\cdots{\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)

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次に、線分 \({\rm AB}\) の中点 \({\rm M}\) の座標は、

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　\({\rm M}\left(\displaystyle\frac{\,p+a\,}{\,2\,}~,~\displaystyle\frac{\,q+b\,}{\,2\,}\right)\)

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この点 \({\rm M}\) は直線 \(l\) 上にあるので、\(y=x\) に代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~\displaystyle\frac{\,q+b\,}{\,2\,}&=&\displaystyle\frac{\,p+a\,}{\,2\,}
\\[5pt]~q+b&=&p+a
\\[3pt]~-a+b&=&p-q~\cdots{\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}+{\small [\,2\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~
a+b&=&p+q \\~~
+\big{)}~~~-a+b&=&p-q\\
\hline 2b&=&2p
\\[3pt] b&=&p\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~a+p&=&p+q
\\[3pt]~~~a&=&q\end{eqnarray}\)

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したがって、点 \({\rm B}\) の座標は \((q~,~p)\) となる

東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.89 Training 8

直線 \(2x+y+4=0\) を \(l\) 、点 \({\rm B}\) の座標を \((a~,~b)\) とおく

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直線 \(l\) の傾きは、

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\(\begin{eqnarray}~~~2x+y+4&=&0
\\[3pt]~~~y&=&-2x-4\end{eqnarray}\)

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よって、\(-2\) である

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また、直線 \({\rm AB}\) の傾きは、\(\displaystyle\frac{\,b+1\,}{\,a+4\,}\) であり、直線 \(l\) と直線 \({\rm AB}\) は垂直に交わるので、傾きの積は \(-1\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~(-2)\cdot\displaystyle\frac{\,b+1\,}{\,a+4\,}&=&-1
\\[5pt]~~~\displaystyle\frac{\,-2(b+1)\,}{\,a+4\,}&=&-1
\\[5pt]~-2(b+1)&=&-(a+4)
\\[3pt]~-2b-2&=&-a-4
\\[3pt]~a-2b&=&-2~\cdots{\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)

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次に、線分 \({\rm AB}\) の中点 \({\rm M}\) の座標は、

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　\({\rm M}\left(\displaystyle\frac{\,-4+a\,}{\,2\,}~,~\displaystyle\frac{\,-1+b\,}{\,2\,}\right)\)

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この点 \({\rm M}\) は直線 \(l\) 上にあるので、\(2x+y+4=0\) に代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~2\cdot\displaystyle\frac{\,-4+a\,}{\,2\,}+\displaystyle\frac{\,-1+b\,}{\,2\,}+4&=&0
\\[5pt]~2(-4+a)+(-1+b)+4{\, \small \times \,} 2&=&0~(\,∵~{\, \small \times \,} 2\,)
\\[3pt]~-8+2a-1+b+8&=&0
\\[3pt]~2a+b&=&1~\cdots{\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}+{\small [\,2\,]}{\, \small \times \,} 2\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~
a-2b&=&-2 \\~~
+\big{)}~~~4a+2b&=&2\\
\hline 5a&=&0
\\[3pt] a&=&0\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,2\,]}\) に代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~2{\, \small \times \,} 0+b&=&1
\\[3pt]~~~b&=&1\end{eqnarray}\)

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したがって、点 \({\rm B}\) の座標は \((0~,~1)\) となる