- 数学Ⅱ｜図形と方程式「点と直線との距離の公式」の基本例題解説ページです。
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問題｜点と直線との距離の公式
図形と方程式 25原点と直線 \(3x-4y-5=0\) との距離 \(d\) の求め方は？また、点 \((2~,~-4)\) と直線 \(2x-y-3=0\) との距離 \(d\) の求め方は？
高校数学Ⅱ｜図形と方程式
解法のPoint
点と直線との距離の公式
Point：点と直線との距離の公式
点から直線に下ろした垂線の長さ（最短距離）となり、
\(d=\displaystyle\frac{\,|\,ax_1+by_1+c\,|\,}{\,\sqrt{a^2+b^2}\,}\)
点 \((x_1~,~y_1)\) と直線 \(ax+by+c=0\) との距離 \(d\) は、
点から直線に下ろした垂線の長さ（最短距離）となり、
\(d=\displaystyle\frac{\,|\,ax_1+by_1+c\,|\,}{\,\sqrt{a^2+b^2}\,}\)
分子は、点の座標を代入した絶対値
分母は、\(x~,~y\) の係数の2乗の和のルート
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詳しい解説｜点と直線との距離の公式
図形と方程式 25
原点と直線 \(3x-4y-5=0\) との距離 \(d\) の求め方は？また、点 \((2~,~-4)\) と直線 \(2x-y-3=0\) との距離 \(d\) の求め方は？
高校数学Ⅱ｜図形と方程式
原点 \((0~,~0)\) と直線 \(3x-4y-5=0\) との距離 \(d_1\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~d_1&=&\displaystyle\frac{\,|\,3\cdot 0-4\cdot 0-5\,|\,}{\,\sqrt{3^2+(-4)^2}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,|\,-5\,|\,}{\,\sqrt{9+16}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,5\,}{\,\sqrt{25}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,5\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
点 \((2~,~-4)\) と直線 \(2x-y-3=0\) との距離 \(d_2\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~d_2&=&\displaystyle\frac{\,|\,2\cdot 2-(-4)-3\,|\,}{\,\sqrt{2^2+(-1)^2}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,|\,4+4-3\,|\,}{\,\sqrt{4+1}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,5\,}{\,\sqrt{5}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,5{\, \small \times \,}\sqrt{5}\,}{\,\sqrt{5}{\, \small \times \,}\sqrt{5}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,5\sqrt{5}\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{5}\end{eqnarray}\)
