- 数学Ⅱ｜図形と方程式「点と直線上の点を結ぶ線分の最小値」の基本例題解説ページです。
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問題｜点と直線上の点を結ぶ線分の最小値
図形と方程式 26点 \({\rm A}(2~,~-4)\) と直線 \(2x-y-3=0\) 上を動く点 \({\rm P}\) において、\({\rm AP}\) の最小値の求め方は？
高校数学Ⅱ｜図形と方程式
解法のPoint
点と直線上の点を結ぶ線分の最小値
Point：点と直線上の点を結ぶ線分の最小値
線分 \({\rm AP}\) と直線 \(l\) が垂直になるとき最小になるので、
点と直線の距離の公式より、
\({\rm AP}=\displaystyle\frac{\,|\,ax_1+by_1+c\,|\,}{\,\sqrt{a^2+b^2}\,}\)
点 \({\rm A}(x_1~,~y_1)\) と直線 \(l\,:\,ax+by+c=0\) 上を動く点 \({\rm P}\) を結ぶ線分 \({\rm AP}\) の最小値は、
線分 \({\rm AP}\) と直線 \(l\) が垂直になるとき最小になるので、
点と直線の距離の公式より、
\({\rm AP}=\displaystyle\frac{\,|\,ax_1+by_1+c\,|\,}{\,\sqrt{a^2+b^2}\,}\)
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詳しい解説｜点と直線上の点を結ぶ線分の最小値
図形と方程式 26
点 \({\rm A}(2~,~-4)\) と直線 \(2x-y-3=0\) 上を動く点 \({\rm P}\) において、\({\rm AP}\) の最小値の求め方は？
高校数学Ⅱ｜図形と方程式
線分 \({\rm AP}\) の長さが最小となるのは、線分 \({\rm AP}\) と直線 \(2x-y-3=0\) が垂直となるとき、
よって、最小値は、点と直線との距離の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AP}&=&\displaystyle\frac{\,|\,2\cdot 2-(-4)-3\,|\,}{\,\sqrt{2^2+(-1)^2}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,|\,4+4-3\,|\,}{\,\sqrt{4+1}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,5\,}{\,\sqrt{5}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,5{\, \small \times \,}\sqrt{5}\,}{\,\sqrt{5}{\, \small \times \,}\sqrt{5}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,5\sqrt{5}\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{5}\end{eqnarray}\)
