- 数学Ⅱ｜図形と方程式「点と直線との距離と三角形の面積」の基本例題解説ページです。
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問題｜点と直線との距離と三角形の面積
図形と方程式 27☆3点 \({\rm A}(2~,~3)~,~\)\({\rm B}(-4~,~6)~,~\)\({\rm C}(-1~,~-3)\) を頂点とする \(\triangle{\rm ABC}\) の面積を点 \({\rm A}\) と直線 \({\rm BC}\) との距離を用いて求める方法は？
高校数学Ⅱ｜図形と方程式
解法のPoint
点と直線との距離と三角形の面積
Point：点と直線との距離と三角形の面積
① 直線 \({\rm BC}\) の方程式を求めて、点 \({\rm A}\) とこの直線との距離 \(d\) を求める。
② 辺 \({\rm BC}\) の長さを求める。
③ 辺 \({\rm BC}\) を底辺として、\(d\) が高さとなることより \(\triangle{\rm ABC}\) の面積を求める。
\(\displaystyle\triangle{\rm ABC}=\frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}{\rm BC}{\, \small \times \,} d\)
3つの頂点の座標から点と直線との距離の公式を用いて、\(\triangle{\rm ABC}\) の面積を求める方法は、
① 直線 \({\rm BC}\) の方程式を求めて、点 \({\rm A}\) とこの直線との距離 \(d\) を求める。
② 辺 \({\rm BC}\) の長さを求める。
③ 辺 \({\rm BC}\) を底辺として、\(d\) が高さとなることより \(\triangle{\rm ABC}\) の面積を求める。
\(\displaystyle\triangle{\rm ABC}=\frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}{\rm BC}{\, \small \times \,} d\)
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詳しい解説｜点と直線との距離と三角形の面積
図形と方程式 27☆
3点 \({\rm A}(2~,~3)~,~\)\({\rm B}(-4~,~6)~,~\)\({\rm C}(-1~,~-3)\) を頂点とする \(\triangle{\rm ABC}\) の面積を点 \({\rm A}\) と直線 \({\rm BC}\) との距離を用いて求める方法は？
高校数学Ⅱ｜図形と方程式
2点 \({\rm B}(-4~,~6)~,~\)\({\rm C}(-1~,~-3)\) より、
下の図は実際の座標の位置関係とは異なるが、計算の手順を統一するために、常にこの形で図を描くとよい。
\(x\) の増加量が \(-1-(-4)=+3\)
\(y\) の増加量が \(-3-6=-9\)
よって、傾きが \(\displaystyle\frac{\,-9\,}{\,+3\,}=-3\)
これより、点 \({\rm B}(-4~,~6)\) を通り傾き \(-3\) の直線は、
\(\begin{eqnarray}~~~y-6&=&-3\{x-(-4)\}
\\[3pt]~~~y-6&=&-3(x+4)
\\[3pt]~~~y-6&=&-3x-12
\\[3pt]~~~3x+y-6+12&=&0
\\[3pt]~~~3x+y+6&=&0\end{eqnarray}\)
よって、点 \({\rm A}(2~,~3)\) と直線 \({\rm BC}\) との距離 \(d\) は点と直線との距離の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~d&=&\displaystyle\frac{\,|\,3\cdot2+3+6\,|\,}{\,\sqrt{3^2+1^2}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,|\,6+3+6\,|\,}{\,\sqrt{9+1}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,15\,}{\,\sqrt{10}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,15{\, \small \times \,}\sqrt{10}\,}{\,\sqrt{10}{\, \small \times \,}\sqrt{10}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,15\sqrt{10}\,}{\,10\,}=\displaystyle\frac{\,3\sqrt{10}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
次に、辺 \({\rm BC}\) の長さは、
下の図は実際の座標の位置関係とは異なるが、計算の手順を統一するために、常にこの形で図を描くとよい。
\(x\) 座標の差が \(|\,-1-(-4)\,|=3\)
\(y\) 座標の差が \(|\,-3-6\,|=9\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm BC}&=&\sqrt{3^2+9^2}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{9+81}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{90}
\\[3pt]~~~&=&3\sqrt{10}\end{eqnarray}\)
以上より、\(\triangle{\rm ABC}\) の面積は、辺 \({\rm BC}\) を底辺として、高さが \(d\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\triangle{\rm ABC}&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}3\sqrt{10}{\, \small \times \,}\displaystyle\frac{\,3\sqrt{10}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,9{\, \small \times \,}10\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,45\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
