- 数学Ⅱ｜図形と方程式「直線に接する円の方程式」の基本例題解説ページです。
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問題｜直線に接する円の方程式
図形と方程式 31☆点 \((-1~,~2)\) が中心で直線 \(x-y+5=0\) に接する円の方程式の求め方は？
高校数学Ⅱ｜図形と方程式
解法のPoint
直線に接する円の方程式
Point：直線に接する円の方程式
① 中心と直線との距離が半径であり、点と直線との距離の公式より、半径を求める。
\(r=\displaystyle\frac{\,|\,-1-2+5\,|\,}{\,\sqrt{1^2+(-1)^2}\,}=\sqrt{2}\)
② 中心と半径より、円の方程式を求める。
\((x+1)^2+(y-2)^2=2\)
中心 \((-1~,~2)\) で直線 \(x-y+5=0\) に接する円の方程式は、
① 中心と直線との距離が半径であり、点と直線との距離の公式より、半径を求める。
\(r=\displaystyle\frac{\,|\,-1-2+5\,|\,}{\,\sqrt{1^2+(-1)^2}\,}=\sqrt{2}\)
② 中心と半径より、円の方程式を求める。
\((x+1)^2+(y-2)^2=2\)
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詳しい解説｜直線に接する円の方程式
図形と方程式 31☆
点 \((-1~,~2)\) が中心で直線 \(x-y+5=0\) に接する円の方程式の求め方は？
高校数学Ⅱ｜図形と方程式
下の図は実際の座標の位置関係とは異なるが、計算の手順を統一するために、常にこの形で図を描くとよい。
点 \((-1~,~2)\) と直線 \(x-y+5=0\) との距離が半径 \(r\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~r&=&\displaystyle\frac{\,|\,-1-2+5\,|\,}{\,\sqrt{1^2+(-1)^2}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,|\,2\,|\,}{\,\sqrt{2}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,2\,}{\,\sqrt{2}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,2\cdot\sqrt{2}\,}{\,\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,2\sqrt{2}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{2}\end{eqnarray}\)
中心 \((-1~,~2)\) 、半径 \(\sqrt{2}\) の円となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\{x-(-1)\}^2+(y-2)^2&=&(\sqrt{2})^2
\\[3pt]~~~(x+1)^2+(y-2)^2&=&2\end{eqnarray}\)
