直線上に中心がある円の方程式

中心が \( y=2x \) 上にあるので、
中心の \( x \) 座標を \( a \) とおくと、\( y \) 座標は \( 2a \) となる

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よって、中心 \( (a~,~2a) \)、半径を \( r \) とすると、円の方程式は、

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　\( (x-a)^2+(y-2a)^2=r^2~~~\cdots~{\small [\,1\,]} \)

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点 \( (-3~,~5) \) を通ることより、

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\(\begin{eqnarray}~~~(-3-a)^2+(5-2a)^2&=&r^2
\\[3pt]~~~9+6a+a^2+25-20a+4a^2&=&r^2
\\[3pt]~~~5a^2-14a+34&=&r^2~~~\cdots~{\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)

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点 \( (4~,~-2) \) を通ることより、

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\(\begin{eqnarray}~~~(4-a)^2+(-2-2a)^2&=&r^2
\\[3pt]~~~16-8a+a^2+4+8a+4a^2&=&r^2
\\[3pt]~~~5a^2+20&=&r^2~~~\cdots~{\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,2\,]}-{\small [\,3\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~~~5a^2-14a+34&=&r^2
\\~~-\big{)}~~~5a^2\hphantom{-14a}+20&=&r^2
\\\hline~~~-14a+14&=&0
\\[3pt]~~~-14a&=&-14
\\[3pt]~~~a&=&1\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,3\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~5 \cdot 1^2+20&=&r^2
\\[3pt]~~~25&=&r^2
\\[3pt]~~~r&=&5~~~~~(\,∵~ r \gt 0\,)\end{eqnarray}\)

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よって、\( a=1 \)、\( r=5 \) を \({\small [\,1\,]}\) に代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~(x-1)^2+(y-2 \cdot 1)^2&=&5^2
\\[3pt]~~~(x-1)^2+(y-2)^2&=&25\end{eqnarray}\)