- 数学Ⅱ｜図形と方程式「3点を通る円の方程式」の基本例題解説ページです。
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問題｜3点を通る円の方程式
図形と方程式 353点 \((1~,~3)\) 、\((4~,~2)\) 、\((-3~,~1)\) を通る円の方程式の求め方は？
高校数学Ⅱ｜図形と方程式
解法のPoint
3点を通る円の方程式
Point：3点を通る円の方程式
① 円の方程式を実数 \(l~,~m~,~n\) を用いて、\(x^2+y^2+lx+my+n=0\) とおく。
② 3点の座標を代入し、\(l~,~m~,~n\) を求める。
③ \(l~,~m~,~n\) を再代入して、円の方程式を求める。
通る3点が条件の円の方程式は、
① 円の方程式を実数 \(l~,~m~,~n\) を用いて、\(x^2+y^2+lx+my+n=0\) とおく。
② 3点の座標を代入し、\(l~,~m~,~n\) を求める。
③ \(l~,~m~,~n\) を再代入して、円の方程式を求める。
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詳しい解説｜3点を通る円の方程式
図形と方程式 35
3点 \((1~,~3)\) 、\((4~,~2)\) 、\((-3~,~1)\) を通る円の方程式の求め方は？
高校数学Ⅱ｜図形と方程式
この円の方程式を、
\(x^2+y^2+lx+my+n=0~~~\cdots{\small [\,1\,]}\)
とおくと、
点 \((1~,~3)\) を通ることより、
\(\begin{eqnarray}~~~1^2+3^2+l \cdot 1+m \cdot 3+n&=&0
\\[3pt]~~~1+9+l+3m+n&=&0
\\[3pt]~~~l+3m+n&=&-10~~~\cdots{\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
点 \((4~,~2)\) を通ることより、
\(\begin{eqnarray}~~~4^2+2^2+l \cdot 4+m \cdot 2+n&=&0
\\[3pt]~~~16+4+4l+2m+n&=&0
\\[3pt]~~~4l+2m+n&=&-20~~~\cdots{\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
点 \((-3~,~1)\) を通ることより、
\(\begin{eqnarray}~~~(-3)^2+1^2+l \cdot (-3)+m \cdot 1+n&=&0
\\[3pt]~~~9+1-3l+m+n&=&0
\\[3pt]~~~-3l+m+n&=&-10
\\[3pt]~~~3l-m-n&=&10~~~\cdots{\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~9+1-3l+m+n&=&0
\\[3pt]~~~-3l+m+n&=&-10
\\[3pt]~~~3l-m-n&=&10~~~\cdots{\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\({\small [\,3\,]}-{\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~4l+2m+n&=&-20
\\~-\big{)}~~~l+3m+n&=&-10
\\\hline~~~3l-m&=&-10~~~\cdots{\small [\,5\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}+{\small [\,4\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~l+3m+n&=&-10
\\~+\big{)}~~~3l-m-n&=&10
\\\hline~~~4l+2m&=&0
\\[3pt]~~~2l+m&=&0~~~\cdots{\small [\,6\,]}\end{eqnarray}\)
次に、\({\small [\,5\,]}+{\small [\,6\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~3l-m&=&-10
\\~+\big{)}~~~2l+m&=&0
\\\hline~~~5l&=&-10
\\[3pt]~~~l&=&-2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,6\,]}\) に \(l=-2\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~2 \cdot (-2)+m&=&0
\\[3pt]~~~-4+m&=&0
\\[3pt]~~~m&=&4\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) に \(l=-2~,~m=4\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~-2+3 \cdot 4+n&=&-10
\\[3pt]~~~-2+12+n&=&-10
\\[3pt]~~~10+n&=&-10
\\[3pt]~~~n&=&-20\end{eqnarray}\)
したがって、
\({\small [\,1\,]}\) に \(l=-2~,~m=4~,~n=-20\) を代入すると、
\(x^2+y^2-2x+4y-20=0\) となる
