- 数学Ⅱ｜図形と方程式「3直線がつくる三角形の外接円」の基本例題解説ページです。
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問題｜3直線がつくる三角形の外接円
高校数学Ⅱ｜図形と方程式
解法のPoint
3直線がつくる三角形の外接円
3直線がつくる三角形の外接円の中心の座標と半径は、
① 3直線のうち2本ずつの3つの交点を求める。
直線の交点 ＝ 三角形の頂点
② 外接円はこの3つの点を通る円であり、円の方程式を求める。
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詳しい解説｜3直線がつくる三角形の外接円
高校数学Ⅱ｜図形と方程式
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}x+3y-10=0~~~\cdots {\small [\,1\,]}
\\x-2y+5=0~~~~~\cdots {\small [\,2\,]}
\\x-7y+10=0~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) の交点は、\({\small [\,1\,]}-{\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~x+3y-10&=&0
\\~-\big{)}~~~x-2y+5&=&0
\\\hline 5y-15&=&0
\\[3pt] 5y&=&15
\\[3pt] y&=&3\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~x+3\cdot 3-10&=&0
\\[3pt]~~~x+9-10&=&0
\\[3pt]~~~x-1&=&0
\\[3pt]~~~x&=&1\end{eqnarray}\)
よって、交点は \((1~,~3)\)
次に、\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,3\,]}\) の交点は \({\small [\,1\,]}-{\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~x+3y-10&=&0
\\~-\big{)}~~~x-7y+10&=&0
\\\hline 10y-20&=&0
\\[3pt] 10y&=&20
\\[3pt] y&=&2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~x+3\cdot 2-10&=&0
\\[3pt]~~~x+6-10&=&0
\\[3pt]~~~x-4&=&0
\\[3pt]~~~x&=&4\end{eqnarray}\)
よって、交点は \((4~,~2)\)
次に、\({\small [\,2\,]}\) と \({\small [\,3\,]}\) の交点は \({\small [\,2\,]}-{\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~x-2y+5&=&0
\\~-\big{)}~~~x-7y+10&=&0
\\\hline 5y-5&=&0
\\[3pt] 5y&=&5
\\[3pt] y&=&1\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~x-2\cdot 1+5&=&0
\\[3pt]~~~x-2+5&=&0
\\[3pt]~~~x+3&=&0
\\[3pt]~~~x&=&-3\end{eqnarray}\)
よって、交点は \((-3~,~1)\)
これより、この交点が三角形の頂点となり、外接円はこの3点を通るので、
\((1~,~3)\) 、\((4~,~2)\) 、\((-3~,~1)\) を通る円の方程式は、
\(x^2+y^2+lx+my+n=0~~~\cdots{\small [\,4\,]}\)
とおくと、
点 \((1~,~3)\) を通ることより、
\(\begin{eqnarray}~~~1^2+3^2+l \cdot 1+m \cdot 3+n&=&0
\\[3pt]~~~1+9+l+3m+n&=&0
\\[3pt]~~~l+3m+n&=&-10~~~\cdots{\small [\,5\,]}\end{eqnarray}\)
点 \((4~,~2)\) を通ることより、
\(\begin{eqnarray}~~~4^2+2^2+l \cdot 4+m \cdot 2+n&=&0
\\[3pt]~~~16+4+4l+2m+n&=&0
\\[3pt]~~~4l+2m+n&=&-20~~~\cdots{\small [\,6\,]}\end{eqnarray}\)
点 \((-3~,~1)\) を通ることより、
\\[3pt]~~~9+1-3l+m+n&=&0
\\[3pt]~~~-3l+m+n&=&-10
\\[3pt]~~~3l-m-n&=&10~~~\cdots{\small [\,7\,]}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\({\small [\,6\,]}-{\small [\,5\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~4l+2m+n&=&-20
\\~-\big{)}~~~l+3m+n&=&-10
\\\hline~~~3l-m&=&-10~~~\cdots{\small [\,8\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,5\,]}+{\small [\,7\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~l+3m+n&=&-10
\\~+\big{)}~~~3l-m-n&=&10
\\\hline~~~4l+2m&=&0
\\[3pt]~~~2l+m&=&0~~~\cdots{\small [\,9\,]}\end{eqnarray}\)
次に、\({\small [\,8\,]}+{\small [\,9\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~3l-m&=&-10
\\~+\big{)}~~~2l+m&=&0
\\\hline~~~5l&=&-10
\\[3pt]~~~l&=&-2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,9\,]}\) に \(l=-2\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~2 \cdot (-2)+m&=&0
\\[3pt]~~~-4+m&=&0
\\[3pt]~~~m&=&4\end{eqnarray}\)
\({\small [\,5\,]}\) に \(l=-2~,~m=4\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~-2+3 \cdot 4+n&=&-10
\\[3pt]~~~-2+12+n&=&-10
\\[3pt]~~~10+n&=&-10
\\[3pt]~~~n&=&-20\end{eqnarray}\)
したがって、
\({\small [\,4\,]}\) に \(l=-2~,~m=4~,~n=-20\) を代入すると、
\(x^2+y^2-2x+4y-20=0\) となる
\(x\) と \(y\) それぞれについて平方完成すると、
\\[3pt]~~~(x^2-2x+1)-1+(y^2+4y+4)-4-20&=&0
\\[3pt]~~~(x-1)^2+(y+2)^2&=&25
\\[3pt]~~~\{x-1\}^2+\{y-(-2)\}^2&=&5^2\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
これより、この三角形の外接円は、
中心 \((1~,~-2)\) 、半径 \(5\) である
