- 数学Ⅱ｜図形と方程式「円上の点との距離の最大値・最小値」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜円上の点との距離の最大値・最小値
図形と方程式 37☆円 \( (x-1)^2+(y+2)^2=9 \) 上の点 \( {\rm P} \) と点 \( {\rm A}(5~,~1) \) との距離 \( {\rm PA} \) の最大値と最小値の求め方は？
高校数学Ⅱ｜図形と方程式
解法のPoint
円上の点との距離の最大値・最小値
Point：円上の点との距離の最大値・最小値
① 円の中心と外部の点との距離 \( {\rm CA} \) を求める。
中心が \( (1~,~-2) \) より、\( {\rm CA}=5 \)
② 最大となるのは \( {\rm CA}+\) 半径、最小となるのは \( {\rm CA}-\) 半径のときである。
半径 \( r=3 \) より、
最大値 \( 5+3=8 \)
最小値 \( 5-3=2 \)
円上の点と外部の点との距離の最大値・最小値は、
① 円の中心と外部の点との距離 \( {\rm CA} \) を求める。
中心が \( (1~,~-2) \) より、\( {\rm CA}=5 \)
② 最大となるのは \( {\rm CA}+\) 半径、最小となるのは \( {\rm CA}-\) 半径のときである。
半径 \( r=3 \) より、
最大値 \( 5+3=8 \)
最小値 \( 5-3=2 \)
©︎ 2026 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜円上の点との距離の最大値・最小値
図形と方程式 37☆
円 \( (x-1)^2+(y+2)^2=9 \) 上の点 \( {\rm P} \) と点 \( {\rm A}(5~,~1) \) との距離 \( {\rm PA} \) の最大値と最小値の求め方は？
高校数学Ⅱ｜図形と方程式
円 \( (x-1)^2+(y+2)^2=9 \) より、
\( (x-1)^2+\{y-(-2)\}^2=3^2 \)
中心が \( {\rm C}(1~,~-2) \) 、半径は \( 3 \)
中心 \( {\rm C}(1~,~-2) \) と点 \( {\rm A}(5~,~1) \) との距離は、
下の図は実際の座標の位置関係とは異なるが、計算の手順を統一するために、常にこの形で図を描くとよい。
x座標の差 \( |\,5-1\,|=4 \)
y座標の差 \( |\,1-(-2)\,|=3 \)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm CA}&=&\sqrt{4^2+3^2}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{16+9}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{25}\\[3pt]~~~&=&5\end{eqnarray}\)
図より、\( {\rm PA} \) が最大となるのは、\( {\rm CA}+\) 半径のときで、
\( 5+3=8 \)
\( {\rm PA} \) が最小となるのは、\( {\rm CA}-\) 半径のときで、
\( 5-3=2 \)
