- 数学Ⅱ｜図形と方程式「円と直線との共有点の座標」の基本例題解説ページです。
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問題｜円と直線との共有点の座標
図形と方程式 38円 \(x^2+y^2=5\) と直線 \(y=x+1\) の共有点の座標は？また、円 \(x^2+y^2=5\) と直線 \(y=-2x+5\) の共有点の座標は？
高校数学Ⅱ｜図形と方程式
解法のPoint
円と直線との共有点の座標
Point：円と直線との共有点の座標
① 直線の式を円の式に代入して \(y\) を消し、\(x\) の2次方程式を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+(x+1)^2&=&5
\\[3pt]\Leftrightarrow~~~x^2+x-2&=&0\end{eqnarray}\)
② 2次方程式を解いて \(x\) の値を求め、対応する \(y\) の値を求める。
円と直線との共有点の座標の求め方は、
① 直線の式を円の式に代入して \(y\) を消し、\(x\) の2次方程式を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+(x+1)^2&=&5
\\[3pt]\Leftrightarrow~~~x^2+x-2&=&0\end{eqnarray}\)
② 2次方程式を解いて \(x\) の値を求め、対応する \(y\) の値を求める。
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詳しい解説｜円と直線との共有点の座標
図形と方程式 38
円 \(x^2+y^2=5\) と直線 \(y=x+1\) の共有点の座標は？また、円 \(x^2+y^2=5\) と直線 \(y=-2x+5\) の共有点の座標は？
高校数学Ⅱ｜図形と方程式
\(\begin{eqnarray}~~ ~\left\{~\begin{array}{l}x^2+y^2=5~~~\cdots {\small [\,1\,]}
\\y=x+1~~~\hspace{7pt}\cdots {\small [\,2\,]}\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) より、\(y\) を消去すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+(x+1)^2&=&5
\\[3pt]~~~x^2+(x^2+2x+1)-5&=&0
\\[3pt]~~~2x^2+2x-4&=&0
\\[3pt]~~~x^2+x-2&=&0
\\[3pt]~~~(x+2)(x-1)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&1~,~-2\end{eqnarray}\)
\(x=1\) のとき、\({\small [\,2\,]}\) より、
\(y=1+1=2\)
よって、\((1~,~2)\)
\(x=-2\) のとき、\({\small [\,2\,]}\) より、
\(y=-2+1=-1\)
よって、\((-2~,~-1)\)
したがって、共有点は \((1~,~2)~,~(-2~,~-1)\)
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}x^2+y^2=5~~~\cdots {\small [\,1\,]}
\\y=-2x+5~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) より、\(y\) を消去すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+(-2x+5)^2&=&5
\\[3pt]~~~x^2+(4x^2-20x+25)-5&=&0
\\[3pt]~~~5x^2-20x+20&=&0
\\[3pt]~~~x^2-4x+4&=&0
\\[3pt]~~~(x-2)^2&=&0
\\[3pt]~~~x&=&2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) に \(x=2\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&-2 \cdot 2+5
\\[3pt]~~~&=&-4+5
\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、共有点は \((2~,~1)\)
