- 数学Ⅱ｜図形と方程式「円と直線との共有点の個数」の基本例題解説ページです。
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問題｜円と直線との共有点の個数
高校数学Ⅱ｜図形と方程式
解法のPoint
円と直線との共有点の個数
円と直線との共有点の個数は、
① 直線の式を円の式に代入して \(y\) を消し、\(x\) の2次方程式をつくる。
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+(x+1)^2&=&5
\\[3pt]~~~x^2+x-2&=&0\end{eqnarray}\)
② 2次方程式の判別式 \(D\) を計算し、\(x\) の実数解の個数から共有点の個数を求める。
\({\small [\,1\,]}~D \gt 0\) のとき 共有点 \(2\) 個
\({\small [\,2\,]}~D=0\) のとき 共有点 \(1\) 個
\({\small [\,3\,]}~D \lt 0\) のとき 共有点 \(0\) 個
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詳しい解説｜円と直線との共有点の個数
円 \(x^2+y^2=5\) と直線 \(y=x+1\) or 直線 \(y=-2x+5\) or 直線 \(y=x-5\) の共有点の個数の調べ方は？
高校数学Ⅱ｜図形と方程式
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l} x^2+y^2=5 ~~~\cdots {\small [\,1\,]}
\\ y=x+1 ~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\(\small [\,1\,]\) と \(\small [\,2\,]\) より、\(y\) を消去すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+(x+1)^2&=&5
\\[3pt]~~~x^2+(x^2+2x+1)-5&=&0
\\[3pt]~~~2x^2+2x-4&=&0
\\[3pt]~~~x^2+x-2&=&0\end{eqnarray}\)
この2次方程式の判別式を \(D\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~D&=&1^2-4 \cdot 1 \cdot (-2)
\\[3pt]~~~&=&1+8
\\[3pt]~~~&=&9 \gt 0\end{eqnarray}\)
\(D \gt 0\) となるので、この2次方程式は異なる2つの実数解をもつ
したがって、共有点は \(2\) 個である
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l} x^2+y^2=5 ~~~\cdots {\small [\,1\,]}
\\ y=-2x+5 ~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\(\small [\,1\,]\) と \(\small [\,2\,]\) より、\(y\) を消去すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+(-2x+5)^2&=&5
\\[3pt]~~~x^2+(4x^2-20x+25)-5&=&0
\\[3pt]~~~5x^2-20x+20&=&0
\\[3pt]~~~x^2-4x+4&=&0\end{eqnarray}\)
この2次方程式の判別式を \(D\) とすると、
\(x\) の係数が偶数で、
\(x^2+2 \cdot (-2)x+4=0\) とできるので、
\( \displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}={b^{\prime}}^2-ac \) を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}&=&(-2)^2-1 \cdot 4
\\[5pt]~~~&=&4-4
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
\(D=0\) となるので、この2次方程式は重解（1つの実数解）をもつ
したがって、共有点は \(1\) 個である
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l} x^2+y^2=5 ~~~\cdots {\small [\,1\,]}
\\ y=x-5 ~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\(\small [\,1\,]\) と \(\small [\,2\,]\) より、\(y\) を消去すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+(x-5)^2&=&5
\\[3pt]~~~x^2+(x^2-10x+25)-5&=&0
\\[3pt]~~~2x^2-10x+20&=&0
\\[3pt]~~~x^2-5x+10&=&0\end{eqnarray}\)
この2次方程式の判別式を \(D\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~D&=&(-5)^2-4 \cdot 1 \cdot 10
\\[3pt]~~~&=&25-40
\\[3pt]~~~&=&-15 \lt 0\end{eqnarray}\)
\(D \lt 0\) となるので、この2次方程式は実数解をもたない
したがって、共有点は \(0\) 個である
