- 数学Ⅱ｜図形と方程式「円と直線との共有点の条件と判別式」の基本例題解説ページです。
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問題｜円と直線との共有点の条件と判別式
図形と方程式 40円 \(x^2+y^2=5\) と直線 \(y=-x+k\) の共有点の個数は定数 \(k\) によってどのように変化するか、判別式を用いて調べる方法は？
高校数学Ⅱ｜図形と方程式
解法のPoint
円と直線との共有点の条件と判別式
Point：円と直線との共有点の条件と判別式
① 直線の式を円の式に代入し、\(y\) を消去した \(x\) の2次方程式をつくる。
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+(-x+k)^2&=&5
\\[3pt]~~~2x^2-2kx+k^2-5&=&0\end{eqnarray}\)
② 2次方程式の判別式を求め、判別式と \(0\) との比較で共有点の個数を調べる。
\(\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}=-k^2+10\)
\({\small [\,1\,]}~D \gt 0\) のとき 共有点 \(2\) 個
\({\small [\,2\,]}~D=0\) のとき 共有点 \(1\) 個
\({\small [\,3\,]}~D \lt 0\) のとき 共有点 \(0\) 個
判別式を用いた、円と直線の共有点の個数の条件は、
① 直線の式を円の式に代入し、\(y\) を消去した \(x\) の2次方程式をつくる。
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+(-x+k)^2&=&5
\\[3pt]~~~2x^2-2kx+k^2-5&=&0\end{eqnarray}\)
② 2次方程式の判別式を求め、判別式と \(0\) との比較で共有点の個数を調べる。
\(\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}=-k^2+10\)
\({\small [\,1\,]}~D \gt 0\) のとき 共有点 \(2\) 個
\({\small [\,2\,]}~D=0\) のとき 共有点 \(1\) 個
\({\small [\,3\,]}~D \lt 0\) のとき 共有点 \(0\) 個
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詳しい解説｜円と直線との共有点の条件と判別式
図形と方程式 40
円 \(x^2+y^2=5\) と直線 \(y=-x+k\) の共有点の個数は定数 \(k\) によってどのように変化するか、判別式を用いて調べる方法は？
高校数学Ⅱ｜図形と方程式
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}x^2+y^2=5~~~\cdots {\small [\,1\,]}
\\y=-x+k~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) より、\(y\) を消去すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+(-x+k)^2&=&5
\\[3pt]~~~x^2+(x^2-2kx+k^2)-5&=&0
\\[3pt]~~~2x^2-2kx+k^2-5&=&0\end{eqnarray}\)
この2次方程式の判別式を \(D\) とすると、
\(x\) の係数が偶数で、
\(2x^2+2 \cdot (-k)x+(k^2-5)=0\) とできるので、
\( \displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}={b^{\prime}}^2-ac \) を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}&=&(-k)^2-2(k^2-5)
\\[5pt]~~~&=&k^2-2k^2+10
\\[3pt]~~~&=&-k^2+10\end{eqnarray}\)
\({\small (1)}~\)\(D \gt 0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~-k^2+10&\gt&0
\\[3pt]~~~k^2-10&\lt&0
\\[3pt]~~~(k+\sqrt{10})(k-\sqrt{10})&\lt&0\end{eqnarray}\)
よって、\(-\sqrt{10} \lt k \lt \sqrt{10}\)
このとき、共有点 \(2\) 個
\({\small (2)}~\)\(D=0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~-k^2+10&=&0
\\[3pt]~~~-k^2&=&-10
\\[3pt]~~~k^2&=&10
\\[3pt]~~~k&=&\pm\sqrt{10}\end{eqnarray}\)
このとき、共有点 \(1\) 個
\({\small (3)}~\)\(D \lt 0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~-k^2+10&\lt&0
\\[3pt]~~~k^2-10&\gt&0
\\[3pt]~~~(k+\sqrt{10})(k-\sqrt{10})&\gt&0\end{eqnarray}\)
よって、\(k \lt -\sqrt{10}~,~\sqrt{10} \lt k\)
このとき、共有点 \(0\) 個
したがって、
\(-\sqrt{10} \lt k \lt \sqrt{10}\) のとき共有点 \(2\) 個
\(k=\pm\sqrt{10}\) のとき共有点 \(1\) 個
\(k \lt -\sqrt{10}~,~\sqrt{10} \lt k\) のとき共有点 \(0\) 個
