このページは、「外部の点から円に引いた接線の方程式」の練習問題アーカイブページとなります。
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問題アーカイブ01
問題アーカイブ01点 \({\rm A}(-3~,~1)\) を通り、円 \(x^2+y^2=1\) に接する直線の方程式と、接点の座標を求めよ。
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.102 練習32
この円の接線の、接点の座標を \((a~,~b)\) とおくと、
接点が円上にあるので、
\(a^2+b^2=1~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
また、接線の方程式は、
円の方程式を \(x \cdot x+y \cdot y=1\) とし、接点 \((x~,~y)=(a~,~b)\) を代入すると、
\(ax+by=1~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
この接線が点 \((-3~,~1)\) を通るので、
\(\begin{eqnarray}~~~a \cdot (-3)+b \cdot 1&=&1
\\[3pt]~~~-3a+b&=&1
\\[3pt]~~~b&=&3a+1~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
次に、\({\small [\,3\,]}\) を \({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2+(3a+1)^2&=&1
\\[3pt]~~~a^2+(9a^2+6a+1)-1&=&0
\\[3pt]~~~10a^2+6a&=&0
\\[3pt]~~~2a(5a+3)&=&0
\\[3pt]~~~a&=&0~,~-\displaystyle\frac{3}{5}\end{eqnarray}\)
\(a=0\) のとき、\({\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~b&=&3 \cdot 0+1
\\[3pt]~&=&0+1
\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~0 \cdot x+1 \cdot y&=&1
\\[3pt]~~~y&=&1\end{eqnarray}\)
\(a=-\displaystyle\frac{3}{5}\) のとき、\({\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~b&=&3 \cdot \left(-\displaystyle\frac{3}{5}\right)+1
\\[5pt]~&=&-\displaystyle\frac{9}{5}+1
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle\frac{4}{5}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~-\displaystyle\frac{3}{5} \cdot x+\left(-\displaystyle\frac{4}{5}\right) \cdot y&=&1
\\[5pt]~~~3x+4y&=&-5\end{eqnarray}\)
したがって、
\(y=1\)、接点 \((0~,~1)\)
\(3x+4y=-5\)、接点 \(\left(-\displaystyle\frac{3}{5}~,~-\displaystyle\frac{4}{5}\right)\)
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02点 \({\rm A}(2~,~1)\) から円 \(x^2+y^2=1\) に引いた接線の方程式と接点の座標を求めよ。
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.93 練習30
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.93 練習27
この円の接線の、接点の座標を \((a~,~b)\) とおくと、
接点が円上にあるので、
\(a^2+b^2=1~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
また、接線の方程式は、
円の方程式を \(x \cdot x+y \cdot y=1\) とし、接点 \((x~,~y)=(a~,~b)\) を代入すると、
\(ax+by=1~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
この接線が点 \((2~,~1)\) を通るので、
\(\begin{eqnarray}~~~a \cdot 2+b \cdot 1&=&1
\\[3pt]~~~2a+b&=&1
\\[3pt]~~~b&=&-2a+1~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
次に、\({\small [\,3\,]}\) を \({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2+(-2a+1)^2&=&1
\\[3pt]~~~a^2+(4a^2-4a+1)-1&=&0
\\[3pt]~~~5a^2-4a&=&0
\\[3pt]~~~a(5a-4)&=&0
\\[3pt]~~~a&=&0~,~\displaystyle\frac{4}{5}\end{eqnarray}\)
\(a=0\) のとき、\({\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~b&=&-2 \cdot 0+1
\\[3pt]~&=&0+1
\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~0 \cdot x+1 \cdot y&=&1
\\[3pt]~~~y&=&1\end{eqnarray}\)
\(a=\displaystyle\frac{4}{5}\) のとき、\({\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~b&=&-2 \cdot \displaystyle\frac{4}{5}+1
\\[5pt]~&=&-\displaystyle\frac{8}{5}+1
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle\frac{3}{5}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{4}{5} \cdot x+\left(-\displaystyle\frac{3}{5}\right) \cdot y&=&1
\\[5pt]~~~4x-3y&=&5\end{eqnarray}\)
したがって、
\(y=1\)、接点 \((0~,~1)\)
\(4x-3y=5\)、接点 \(\left(\displaystyle\frac{4}{5}~,~-\displaystyle\frac{3}{5}\right)\)
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03点 \((15~,~5)\) を通り、円 \(x^2+y^2=50\) に接する直線の方程式を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.91 問13
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.102 Training 15
この円の接線の、接点の座標を \((a~,~b)\) とおくと、
接点が円上にあるので、
\(a^2+b^2=50~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
また、接線の方程式は、
円の方程式を \(x \cdot x+y \cdot y=50\) とし、接点 \((x~,~y)=(a~,~b)\) を代入すると、
\(ax+by=50~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
この接線が点 \((15~,~5)\) を通るので、
\(\begin{eqnarray}~~~a \cdot 15+b \cdot 5&=&50
\\[3pt]~~~15a+5b&=&50
\\[3pt]~~~3a+b&=&10
\\[3pt]~~~b&=&-3a+10~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
次に、\({\small [\,3\,]}\) を \({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2+(-3a+10)^2&=&50
\\[3pt]~~~a^2+(9a^2-60a+100)-50&=&0
\\[3pt]~~~10a^2-60a+50&=&0
\\[3pt]~~~a^2-6a+5&=&0
\\[3pt]~~~(a-1)(a-5)&=&0
\\[3pt]~~~a&=&1~,~5\end{eqnarray}\)
\(a=1\) のとき、\({\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~b&=&-3 \cdot 1+10
\\[3pt]~&=&-3+10
\\[3pt]~~~&=&7\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~1 \cdot x+7 \cdot y&=&50
\\[3pt]~~~x+7y&=&50\end{eqnarray}\)
\(a=5\) のとき、\({\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~b&=&-3 \cdot 5+10
\\[3pt]~&=&-15+10
\\[3pt]~~~&=&-5\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~5 \cdot x+(-5) \cdot y&=&50
\\[3pt]~~~5x-5y&=&50
\\[3pt]~~~x-y&=&10\end{eqnarray}\)
したがって、
接線の方程式は \(x+7y=50~,~x-y=10\)
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04点 \((1~,~2)\) を通り、円 \(x^2+y^2=1\) に接する直線の方程式を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.95 問題 13(2)
この円の接線の、接点の座標を \((a~,~b)\) とおくと、
接点が円上にあるので、
\(a^2+b^2=1~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
また、接線の方程式は、
円の方程式を \(x \cdot x+y \cdot y=1\) とし、接点 \((x~,~y)=(a~,~b)\) を代入すると、
\(ax+by=1~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
この接線が点 \((1~,~2)\) を通るので、
\(\begin{eqnarray}~~~a \cdot 1+b \cdot 2&=&1
\\[3pt]~~~a+2b&=&1
\\[3pt]~~~a&=&-2b+1~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
次に、\({\small [\,3\,]}\) を \({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(-2b+1)^2+b^2&=&1
\\[3pt]~~~(4b^2-4b+1)+b^2-1&=&0
\\[3pt]~~~5b^2-4b&=&0
\\[3pt]~~~b(5b-4)&=&0
\\[3pt]~~~b&=&0~,~\displaystyle\frac{4}{5}\end{eqnarray}\)
\(b=0\) のとき、\({\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~a&=&-2 \cdot 0+1
\\[3pt]~&=&0+1
\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~1 \cdot x+0 \cdot y&=&1
\\[3pt]~~~x&=&1\end{eqnarray}\)
\(b=\displaystyle\frac{4}{5}\) のとき、\({\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~a&=&-2 \cdot \displaystyle\frac{4}{5}+1
\\[5pt]~&=&-\displaystyle\frac{8}{5}+1
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle\frac{3}{5}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~-\displaystyle\frac{3}{5} \cdot x+\displaystyle\frac{4}{5} \cdot y&=&1
\\[5pt]~~~-3x+4y&=&5
\\[5pt]~~~3x-4y&=&-5\end{eqnarray}\)
したがって、
接線の方程式は \(x=1~,~3x-4y=-5\)
問題アーカイブ05
問題アーカイブ05点 \({\rm A}(2~,~4)\) を通り、円 \(x^2+y^2=10\) に接する直線の方程式を求めよ。
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.98 問11
この円の接線の、接点の座標を \((a~,~b)\) とおくと、
接点が円上にあるので、
\(a^2+b^2=10~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
また、接線の方程式は、
円の方程式を \(x \cdot x+y \cdot y=10\) とし、接点 \((x~,~y)=(a~,~b)\) を代入すると、
\(ax+by=10~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
この接線が点 \((2~,~4)\) を通るので、
\(\begin{eqnarray}~~~a \cdot 2+b \cdot 4&=&10
\\[3pt]~~~2a+4b&=&10
\\[3pt]~~~a+2b&=&5
\\[3pt]~~~a&=&-2b+5~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
次に、\({\small [\,3\,]}\) を \({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(-2b+5)^2+b^2&=&10
\\[3pt]~~~(4b^2-20b+25)+b^2-10&=&0
\\[3pt]~~~5b^2-20b+15&=&0
\\[3pt]~~~b^2-4b+3&=&0
\\[3pt]~~~(b-1)(b-3)&=&0
\\[3pt]~~~b&=&1~,~3\end{eqnarray}\)
\(b=1\) のとき、\({\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~a&=&-2 \cdot 1+5
\\[3pt]~&=&-2+5
\\[3pt]~~~&=&3\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~3 \cdot x+1 \cdot y&=&10
\\[3pt]~~~3x+y&=&10\end{eqnarray}\)
\(b=3\) のとき、\({\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~a&=&-2 \cdot 3+5
\\[3pt]~&=&-6+5
\\[3pt]~~~&=&-1\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(-1) \cdot x+3 \cdot y&=&10
\\[3pt]~~~-x+3y&=&10
\\[3pt]~~~x-3y&=&-10\end{eqnarray}\)
したがって、
接線の方程式は \(3x+y=10~,~x-3y=-10\)
