円の2つの接点を結ぶ直線の方程式

2つの接点の座標を \({\rm P}(a~,~b)\) 、\({\rm Q}(c~,~d)\) とおくと、

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それぞれの接線の方程式は、

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\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}ax+by=5
\\cx+dy=5\end{array}\right.\end{eqnarray}\)

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また、それぞれは点 \((3~,~1)\) を通るので、

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\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}3a+b=5
\\3c+d=5\end{array}\right.\end{eqnarray}\)

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これは、2点 \({\rm P}(a~,~b)\) 、\({\rm Q}(c~,~d)\) が直線 \(3x+y=5\) 上にあることを示す

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したがって、直線 \({\rm PQ}\) は \(3x+y=5\) となる

 
 

【別解】

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この円の接線の接点の座標を \((a~,~b)\) とおくと、

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接点が円上にあるので、

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　\(a^2+b^2=5~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)

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また、接線の方程式は、

　\(ax+by=5~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)

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この接線が点 \((3~,~1)\) を通るので、

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\(\begin{eqnarray}~~~a \cdot 3+b \cdot 1&=&5
\\[3pt]~~~3a+b&=&5
\\[3pt]~~~b&=&-3a+5~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,3\,]}\) を \({\small [\,1\,]}\) に代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~a^2+(-3a+5)^2&=&5
\\[3pt]~~~a^2+(9a^2-30a+25)-5&=&0
\\[3pt]~~~10a^2-30a+20&=&0
\\[3pt]~~~a^2-3a+2&=&0
\\[3pt]~~~(a-1)(a-2)&=&0
\\[3pt]~~~a&=&1~,~2\end{eqnarray}\)

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　\(a=1\) のとき、\({\small [\,3\,]}\) より、

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　\(\begin{eqnarray}~~~b&=&-3 \cdot 1+5
\\[3pt]~~~&=&-3+5
\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)

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　よって、接点 \((1~,~2)\)

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　\(a=2\) のとき、\({\small [\,3\,]}\) より、

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　\(\begin{eqnarray}~~~b&=&-3 \cdot 2+5
\\[3pt]~~~&=&-6+5
\\[3pt]~~~&=&-1\end{eqnarray}\)

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　よって、接点 \((2~,~-1)\)

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2点を結ぶ直線の方程式は、

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　\(x\) 座標の増加量が \(2-1=+1\)
　\(y\) 座標の増加量が \(-1-2=-3\)

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よって、傾き \(\displaystyle \frac{\,-3\,}{\,+1\,}=-3\)

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点 \((1~,~2)\) を通るので、

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\(\begin{eqnarray}~~~y-2&=&-3(x-1)
\\[3pt]~~~y-2&=&-3x+3
\\[3pt]~~~3x+y&=&3+2\end{eqnarray}\)

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したがって、\(3x+y=5\) となる