このページは、「円の2つの接点を結ぶ直線の方程式」の練習問題アーカイブページとなります。
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円の2つの接点を結ぶ直線の方程式 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ0111. 点 \({\rm P}(2~,~4)\) と、円 \(x^2+y^2=10\) について、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\) 点 \({\rm P}\) を通り、この円に接する直線の方程式と、接点の座標を求めよ。
\({\small (2)}~\) \({\small (1)}\) の2つの接点を結ぶ直線の方程式を求めよ。
\({\small (1)}~\) 点 \({\rm P}\) を通り、この円に接する直線の方程式と、接点の座標を求めよ。
\({\small (2)}~\) \({\small (1)}\) の2つの接点を結ぶ直線の方程式を求めよ。
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.107 問題 11
\({\small (1)}~\)この円の接線の接点の座標を \((a~,~b)\) とおくと、
接点が円上にあるので、
\(a^2+b^2=10~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
また、接線の方程式は、
円の方程式を \(xx+yy=10\) とし、一方の \((x~,~y)\) に \((a~,~b)\) を代入すると、
\(ax+by=10~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
この接線が点 \((2~,~4)\) を通るので、
\(\begin{eqnarray}~~~a \cdot 2+b \cdot 4&=&10\\[3pt]~~~2a+4b&=&10\\[3pt]~~~a&=&-2b+5~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,3\,]}\) を \({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(-2b+5)^2+b^2&=&10\\[3pt]~~~(4b^2-20b+25)+b^2-10&=&0\\[3pt]~~~5b^2-20b+15&=&0\\[3pt]~b^2-4b+3&=&0\\[3pt]~(b-1)(b-3)&=&0\\[3pt]~b&=&1~,~3\end{eqnarray}\)
\(b=1\) のとき、\({\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~a&=&-2 \cdot 1+5\\[3pt]~&=&-2+5\\[3pt]~&=&3\end{eqnarray}\)
よって、接点 \((3~,~1)\)
\({\small [\,2\,]}\) より、接線の方程式は、
\(3x+y=10\)
\(b=3\) のとき、\({\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~a&=&-2 \cdot 3+5\\[3pt]~&=&-6+5\\[3pt]~~~&=&-1\end{eqnarray}\)
よって、接点 \((-1~,~3)\)
\({\small [\,2\,]}\) より、接線の方程式は、
\(\begin{eqnarray}~-x+3y&=&10\\[3pt]~x-3y&=&-10\end{eqnarray}\)
したがって、
接線 \(3x+y=10\)、接点 \((3~,~1)\)
接線 \(x-3y=-10\)、接点 \((-1~,~3)\)
\({\small (2)}~\)2点を結ぶ直線の方程式は、
\(x\) 座標の増加量が \(-1-3=-4\)
\(y\) 座標の増加量が \(3-1=+2\)
よって、傾き \(\displaystyle \frac{\,+2\,}{\,-4\,}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
点 \((3~,~1)\) を通るので、
\(\begin{eqnarray}~~~y-1&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(x-3)\\[5pt]~~~2(y-1)&=&-(x-3)\\[3pt]~~~2y-2&=&-x+3\\[3pt]~~~x+2y&=&3+2\end{eqnarray}\)
したがって、\(x+2y=5\) となる
【別解】
2つの接点の座標を \({\rm P}(a~,~b)\) 、\({\rm Q}(c~,~d)\) とおくと、
それぞれの接線の方程式は、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}ax+by=10\\cx+dy=10\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
また、それぞれは点 \((2~,~4)\) を通るので、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}2a+4b=10\\2c+4d=10\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
これは、2点 \({\rm P}(a~,~b)\) 、\({\rm Q}(c~,~d)\) が直線 \(2x+4y=10\) すなわち \(x+2y=5\) 上にあることを示す
したがって、直線 \({\rm PQ}\) は \(x+2y=5\) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02点 \((4~,~2)\) から円 \(x^2+y^2=10\) に引いた2つの接線の接点を \({\rm A}\) 、\({\rm B}\) とする。
\({\small (1)}~\) 2点 \({\rm A}\) 、\({\rm B}\) の座標を求めよ。
\({\small (2)}~\) 直線 \({\rm AB}\) の方程式を求めよ。
\({\small (1)}~\) 2点 \({\rm A}\) 、\({\rm B}\) の座標を求めよ。
\({\small (2)}~\) 直線 \({\rm AB}\) の方程式を求めよ。
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.98 問題 13
\({\small (1)}~\)この円の接線の接点の座標を \((a~,~b)\) とおくと、
接点が円上にあるので、
\(a^2+b^2=10~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
また、接線の方程式は、
円の方程式を \(xx+yy=10\) とし、一方の \((x~,~y)\) に \((a~,~b)\) を代入すると、
\(ax+by=10~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
この接線が点 \((4~,~2)\) を通るので、
\(\begin{eqnarray}~~~a \cdot 4+b \cdot 2&=&10\\[3pt]~4a+2b&=&10\\[3pt]~b&=&-2a+5~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,3\,]}\) を \({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~a^2+(-2a+5)^2&=&10\\[3pt]~~~a^2+(4a^2-20a+25)-10&=&0\\[3pt]~~~5a^2-20a+15&=&0\\[3pt]~a^2-4a+3&=&0\\[3pt]~(a-1)(a-3)&=&0\\[3pt]~a&=&1~,~3\end{eqnarray}\)
\(a=1\) のとき、\({\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~b&=&-2 \cdot 1+5\\[3pt]~&=&-2+5\\[3pt]~&=&3\end{eqnarray}\)
よって、接点 \((1~,~3)\)
\({\small [\,2\,]}\) より、接線の方程式は、
\(x+3y=10\)
\(a=3\) のとき、\({\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~b&=&-2 \cdot 3+5\\[3pt]~&=&-6+5\\[3pt]~~~&=&-1\end{eqnarray}\)
よって、接点 \((3~,~-1)\)
\({\small [\,2\,]}\) より、接線の方程式は、
\(3x-y=10\)
したがって、
接線 \(x+3y=10\)、接点 \((1~,~3)\)
接線 \(3x-y=10\)、接点 \((3~,~-1)\)
\({\small (2)}~\)2点を結ぶ直線の方程式は、
\(x\) 座標の増加量が \(3-1=+2\)
\(y\) 座標の増加量が \(-1-3=-4\)
よって、傾き \(\displaystyle \frac{\,-4\,}{\,+2\,}=-2\)
点 \((1~,~3)\) を通るので、
\(\begin{eqnarray}~~~y-3&=&-2(x-1)\\[3pt]~~~y-3&=&-2x+2\\[3pt]~~~2x+y&=&2+3\end{eqnarray}\)
したがって、\(2x+y=5\) となる
【別解】
2つの接点の座標を \({\rm P}(a~,~b)\) 、\({\rm Q}(c~,~d)\) とおくと、
それぞれの接線の方程式は、
\(\begin{eqnarray}~ \left\{~\begin{array}{l}ax+by=10\\cx+dy=10\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
また、それぞれは点 \((4~,~2)\) を通るので、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}4a+2b=10\\4c+2d=10\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
これは、2点 \({\rm P}(a~,~b)\) 、\({\rm Q}(c~,~d)\) が直線 \(4x+2y=10\) すなわち \(2x+y=5\) 上にあることを示す
したがって、直線 \({\rm PQ}\) は \(2x+y=5\) となる
