- 数学Ⅱ｜図形と方程式「直線に平行・垂直な円の接線の方程式」の基本例題解説ページです。
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問題｜直線に平行・垂直な円の接線の方程式
図形と方程式 47☆円 \(x^2+y^2=5\) の接線で直線 \(2x-y=3\) に平行 or 垂直な接線の方程式の求め方は？
高校数学Ⅱ｜図形と方程式
解法のPoint
直線に平行・垂直な円の接線の方程式
Point：直線に平行・垂直な円の接線の方程式
① 接点の座標を \((a~,~b)\) とおく。
② 接点が円上にある条件式をつくる。
\(\begin{eqnarray}~~~a^2+b^2&=&5~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
③ 接線の方程式を \(a~,~b\) を用いて表す。
\(\begin{eqnarray}~~~ax+by&=&5~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
④ 直線との平行条件・垂直条件と \({\small [\,1\,]}\) とを連立して \(a~,~b\) の値を求め、\({\small [\,2\,]}\) に代入して接線の方程式を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~a_1x+b_1y&=&c_1
\\~~~a_2x+b_2y&=&c_2\end{eqnarray}\) について、
2直線が平行 \(~\Leftrightarrow~~ a_1\,b_2-b_1\,a_2=0\)
2直線が垂直 \(~\Leftrightarrow~~a_1\,a_2+b_1\,b_2=0\)
直線に平行・垂直な円の接線の方程式は、
① 接点の座標を \((a~,~b)\) とおく。
② 接点が円上にある条件式をつくる。
\(\begin{eqnarray}~~~a^2+b^2&=&5~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
③ 接線の方程式を \(a~,~b\) を用いて表す。
\(\begin{eqnarray}~~~ax+by&=&5~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
④ 直線との平行条件・垂直条件と \({\small [\,1\,]}\) とを連立して \(a~,~b\) の値を求め、\({\small [\,2\,]}\) に代入して接線の方程式を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~a_1x+b_1y&=&c_1
\\~~~a_2x+b_2y&=&c_2\end{eqnarray}\) について、
2直線が平行 \(~\Leftrightarrow~~ a_1\,b_2-b_1\,a_2=0\)
2直線が垂直 \(~\Leftrightarrow~~a_1\,a_2+b_1\,b_2=0\)
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詳しい解説｜直線に平行・垂直な円の接線の方程式
図形と方程式 47☆
円 \(x^2+y^2=5\) の接線で直線 \(2x-y=3\) に平行 or 垂直な接線の方程式の求め方は？
高校数学Ⅱ｜図形と方程式
\(x^2+y^2=5\) の接点を \((a~,~b)\) とおくと、
接点は円上にあるので、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2+b^2&=&5~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
接線の方程式は、
\(\begin{eqnarray}~~~ax+by&=&5~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) の \(ax+by=5\) と直線 \(2x-y=3\) が平行のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~a_1x+b_1y&=&c_1
\\~~~a_2x+b_2y&=&c_2\end{eqnarray}\) について、
2直線が平行 \(~\Leftrightarrow~~ a_1\,b_2-b_1\,a_2=0\)
\\~~~a_2x+b_2y&=&c_2\end{eqnarray}\) について、
2直線が平行 \(~\Leftrightarrow~~ a_1\,b_2-b_1\,a_2=0\)
\(\begin{eqnarray}~~~a \cdot (-1)-b \cdot 2&=&0
\\[3pt]~~~-a-2b&=&0
\\[3pt]~~~-a&=&2b
\\[3pt]~~~a&=&-2b~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,3\,]}\) を \({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(-2b)^2+b^2&=&5
\\[3pt]~~~4b^2+b^2&=&5
\\[3pt]~~~5b^2&=&5
\\[3pt]~~~b^2&=&1
\\[3pt]~~~b&=&\pm 1\end{eqnarray}\)
\(b=1\) のとき、\({\small [\,3\,]}\) より \(a=-2\)
\({\small [\,2\,]}\) より、接線は、
\(\begin{eqnarray}~~~-2x+1 \cdot y&=&5
\\[3pt]~~~2x-y&=&-5\end{eqnarray}\)
\(b=-1\) のとき、\({\small [\,3\,]}\) より \(a=2\)
\({\small [\,2\,]}\) より、接線は、
\(\begin{eqnarray}~~~2x+(-1)y&=&5
\\[3pt]~~~2x-y&=&5\end{eqnarray}\)
したがって、平行な接線の方程式は、
\(2x-y=-5~,~2x-y=5\)
\({\small [\,2\,]}\) の \(ax+by=5\) と直線 \(2x-y=3\) が垂直のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~a_1x+b_1y&=&c_1
\\~~~a_2x+b_2y&=&c_2\end{eqnarray}\) について、
2直線が垂直 \(~\Leftrightarrow~~a_1\,a_2+b_1\,b_2=0\)
\\~~~a_2x+b_2y&=&c_2\end{eqnarray}\) について、
2直線が垂直 \(~\Leftrightarrow~~a_1\,a_2+b_1\,b_2=0\)
\(\begin{eqnarray}~~~a \cdot 2+b \cdot (-1)&=&0
\\[3pt]~~~2a-b&=&0
\\[3pt]~~~-b&=&-2a
\\[3pt]~~~b&=&2a~~~\cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,4\,]}\) を \({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2+(2a)^2&=&5
\\[3pt]~~~a^2+4a^2&=&5
\\[3pt]~~~5a^2&=&5
\\[3pt]~~~a^2&=&1
\\[3pt]~~~a&=&\pm 1\end{eqnarray}\)
\(a=1\) のとき、\({\small [\,4\,]}\) より \(b=2\)
\({\small [\,2\,]}\) より、接線は、
\(\begin{eqnarray}~~~1 \cdot x+2 \cdot y&=&5
\\[3pt]~~~x+2y&=&5\end{eqnarray}\)
\(a=-1\) のとき、\({\small [\,4\,]}\) より \(b=-2\)
\({\small [\,2\,]}\) より、接線は、
\(\begin{eqnarray}~~~-1 \cdot x+(-2)y&=&5
\\[3pt]~~~-x-2y&=&5
\\[3pt]~~~x+2y&=&-5\end{eqnarray}\)
したがって、垂直な接線の方程式は、
\(x+2y=5~,~x+2y=-5\)
