- 数学Ⅱ｜図形と方程式「y軸上の点から円に引いた接線の方程式」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜y軸上の点から円に引いた接線の方程式
図形と方程式 48☆点 \((0~,~3)\) を通り、円 \(x^2+y^2-2x-1=0\) に接する直線の方程式と接点の座標の求め方は？
高校数学Ⅱ｜図形と方程式
解法のPoint
y軸上の点から円に引いた接線の方程式
Point：y軸上の点から円に引いた接線の方程式
① 傾きを \(m\) として接線の方程式を立てる。
\(y=mx+3~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
② 円の方程式に代入して2次方程式をつくる。
③ 接する条件の判別式 \(D=0\) より、\(m\) の値を求める。
\(\begin{eqnarray}\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}=m^2-6m-7=0
\\\Leftrightarrow~~m=-1~,~7\end{eqnarray}\)
④ \({\small [\,1\,]}\) より、接線の方程式を求めて、\({\small [\,2\,]}\) より接点の座標を求める。
円の外側の \(y\) 軸上の点から円に引いた接線の方程式の求め方は、
① 傾きを \(m\) として接線の方程式を立てる。
\(y=mx+3~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
② 円の方程式に代入して2次方程式をつくる。
\((m^2+1)x^2+2(3m-1)x+8=0~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
③ 接する条件の判別式 \(D=0\) より、\(m\) の値を求める。
\(\begin{eqnarray}\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}=m^2-6m-7=0
\\\Leftrightarrow~~m=-1~,~7\end{eqnarray}\)
④ \({\small [\,1\,]}\) より、接線の方程式を求めて、\({\small [\,2\,]}\) より接点の座標を求める。
©︎ 2026 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜y軸上の点から円に引いた接線の方程式
図形と方程式 48☆
点 \((0~,~3)\) を通り、円 \(x^2+y^2-2x-1=0\) に接する直線の方程式と接点の座標の求め方は？
高校数学Ⅱ｜図形と方程式
点 \((0~,~3)\) を通り、傾きが \(m\) の接線の方程式は、
\(y=mx+3~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\small [\,1\,]}\) を円 \(x^2+y^2-2x-1=0\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+(mx+3)^2-2x-1&=&0
\\[3pt]~~~x^2+m^2x^2+6mx+9-2x-1&=&0
\\[3pt]~~~(m^2+1)x^2+2(3m-1)x+8&=&0~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
接線の条件より、判別式 \(D=0\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}&=&(3m-1)^2-(m^2+1) \cdot 8~=~0
\\[3pt]~~~&&9m^2-6m+1-8m^2-8~=~0
\\[3pt]~~~&&m^2-6m-7~=~0
\\[3pt]~~~&&(m+1)(m-7)~=~0
\\[5pt]~~~&&m~=~-1~,~7\end{eqnarray}\)
\(m=-1\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、接線は \(y=-x+3\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\{(-1)^2+1\}x^2+2\{3 \cdot (-1)-1\}x+8&=&0
\\[3pt]~~~2x^2+2 \cdot (-4)x+8&=&0
\\[3pt]~~~x^2-4x+4&=&0
\\[3pt]~~~(x-2)^2&=&0
\\[3pt]~~~x&=&2\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~2x^2+2 \cdot (-4)x+8&=&0
\\[3pt]~~~x^2-4x+4&=&0
\\[3pt]~~~(x-2)^2&=&0
\\[3pt]~~~x&=&2\end{eqnarray}\)
\(y=-x+3\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&-2+3
\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
よって、接点は \((2~,~1)\)
\(m=7\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、接線は \(y=7x+3\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~(7^2+1)x^2+2(3 \cdot 7-1)x+8&=&0
\\[3pt]~~~50x^2+2 \cdot 20x+8&=&0
\\[3pt]~~~25x^2+20x+4&=&0
\\[3pt]~~~(5x+2)^2&=&0
\\[3pt]~~~x&=&-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)
\(y=7x+3\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&7 \cdot \left(-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\right)+3
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-14+15\,}{\,5\,}~=~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)
よって、接点は \(\left(-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\right)\)
したがって、接線とそのときの接点の座標は、
\(y=-x+3~,~(2~,~1)\)
\(y=7x+3~,~\left(-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\right)\)
