円と外接・内接する円の方程式

円 \(x^2+y^2=9\) は、中心 \((0~,~0)\) 、半径 \(3\) の円

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中心 \((4~,~3)\) の円の半径を \(r\) \((\,r \gt 0\,)\) とすると、

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　\((x-4)^2+(y-3)^2=r^2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)

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ここで、中心間の距離 \(d\) は、\((0~,~0)\) と \((4~,~3)\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~d&=&\sqrt{4^2+3^2}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{16+9}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{25}
\\[3pt]~~~&=&5\end{eqnarray}\)

 
 

2つの円が外接するとき、半径の和が \(d\) と等しくなるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~3+r&=&5
\\[3pt]~~~r&=&2\end{eqnarray}\)

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したがって、
外接する円の方程式は \((x-4)^2+(y-3)^2=4\)

 
 

2つの円が内接するとき、半径の差が \(d\) と等しくなるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~|\,3-r\,|&=&5
\\[3pt]~~~3-r&=&\pm 5\end{eqnarray}\)

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　\(3-r=5\) のとき、

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　\(\begin{eqnarray}~~~-r&=&2
\\[3pt]~~~r&=&-2\end{eqnarray}\)

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　　\(r \gt 0\) より、不適

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　\(3-r=-5\) のとき、

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　\(\begin{eqnarray}~~~-r&=&-8
\\[3pt]~~~r&=&8\end{eqnarray}\)

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したがって、
内接する円の方程式は \((x-4)^2+(y-3)^2=64\)