- 数学Ⅱ｜図形と方程式「円が円の内部にある条件」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜円が円の内部にある条件
図形と方程式 53☆円 \(x^2+y^2-2x-2ky+k^2-3=0\) が円 \(x^2+y^2=25\) の内部にあるような定数 \(k\) の値の範囲を求めよ。
高校数学Ⅱ｜図形と方程式
解法のPoint
円が円の内部にある条件
Point：円が円の内部にある条件
① 2つの円の中心の座標と半径をそれぞれ求める。
中心 \((1~,~k)\) 、半径 \(2\)
中心 \((0~,~0)\) 、半径 \(5\)
② 2つの円の中心間の距離 \(d\) を求める。
\(d=\sqrt{k^2+1}\)
③ 一方の円が他方の円の内部にある条件は、距離 \(d\) が半径の差より小さいことより、\(k\) の値の範囲を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~d&\lt&|\,r-r’\,|
\\[3pt]~~~\sqrt{k^2+1}&\lt&|\,2-5\,|
\\[3pt]~~~&\Leftrightarrow&-2\sqrt{2}\lt k\lt 2\sqrt{2}\end{eqnarray}\)
一方の円が他方の円の内部にある条件は、
① 2つの円の中心の座標と半径をそれぞれ求める。
中心 \((1~,~k)\) 、半径 \(2\)
中心 \((0~,~0)\) 、半径 \(5\)
② 2つの円の中心間の距離 \(d\) を求める。
\(d=\sqrt{k^2+1}\)
③ 一方の円が他方の円の内部にある条件は、距離 \(d\) が半径の差より小さいことより、\(k\) の値の範囲を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~d&\lt&|\,r-r’\,|
\\[3pt]~~~\sqrt{k^2+1}&\lt&|\,2-5\,|
\\[3pt]~~~&\Leftrightarrow&-2\sqrt{2}\lt k\lt 2\sqrt{2}\end{eqnarray}\)
©︎ 2026 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜円が円の内部にある条件
図形と方程式 53☆
円 \(x^2+y^2-2x-2ky+k^2-3=0\) が円 \(x^2+y^2=25\) の内部にあるような定数 \(k\) の値の範囲を求めよ。
高校数学Ⅱ｜図形と方程式
\(x^2+y^2-2x-2ky+k^2-3=0\) について、
\(x\) と \(y\) のそれぞれについて平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(x^2-2x)+(y^2-2ky)+k^2-3&=&0
\\[3pt]~~~(x^2-2x+1)-1+(y^2-2ky+k^2)-k^2+k^2-3&=&0
\\[3pt]~~~(x-1)^2+(y-k)^2&=&4\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~(x^2-2x+1)-1+(y^2-2ky+k^2)-k^2+k^2-3&=&0
\\[3pt]~~~(x-1)^2+(y-k)^2&=&4\end{eqnarray}\)
よって、中心 \((1~,~k)\) 、半径 \(2\) の円である
また、\(x^2+y^2=25\) は、中心 \((0~,~0)\) 、半径 \(5\) の円である
2つの円の中心間の距離 \(d\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~d&=&\sqrt{1^2+k^2}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{k^2+1}\end{eqnarray}\)
一方の円が他方の円の内部にある条件は、距離 \(d\) が半径の差より小さいことより、
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt{k^2+1}&\lt&|\,2-5\,|
\\[3pt]~~~\sqrt{k^2+1}&\lt&3
\\[3pt]~~~k^2+1&\lt&9
\\[3pt]~~~k^2-8&\lt&0
\\[3pt]~~~(k+2\sqrt{2})(k-2\sqrt{2})&\lt&0\end{eqnarray}\)
したがって、
\(k\) の値の範囲は、\(-2\sqrt{2}\lt k\lt 2\sqrt{2}\)
