- 数学Ⅱ｜図形と方程式「2つの円の共有点の座標」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜2つの円の共有点の座標
図形と方程式 54円 \(x^2+y^2=5\) と円 \(x^2+y^2+4x-4y-9=0\) の共有点の座標の求め方は？
高校数学Ⅱ｜図形と方程式
解法のPoint
2つの円の共有点の座標
Point：2つの円の共有点の座標
① 2つの円の方程式の差より、\(x\) と \(y\) の1次方程式を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}x^2+y^2-5=0~~~\cdots {\small [\,1\,]}\\x^2+y^2+4x-4y-9=0~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}-{\small [\,1\,]}\) より、
\(y=x-1~~~\cdots {\small [\,3\,]}\)
② 1次方程式を円の方程式に代入して、\(x\) と \(y\) の値を求める。
2つの円の共有点の座標の求め方は、
① 2つの円の方程式の差より、\(x\) と \(y\) の1次方程式を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}x^2+y^2-5=0~~~\cdots {\small [\,1\,]}\\x^2+y^2+4x-4y-9=0~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}-{\small [\,1\,]}\) より、
\(y=x-1~~~\cdots {\small [\,3\,]}\)
② 1次方程式を円の方程式に代入して、\(x\) と \(y\) の値を求める。
©︎ 2026 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜2つの円の共有点の座標
図形と方程式 54
円 \(x^2+y^2=5\) と円 \(x^2+y^2+4x-4y-9=0\) の共有点の座標の求め方は？
高校数学Ⅱ｜図形と方程式
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}x^2+y^2-5=0~~~\cdots {\small [\,1\,]}\\x^2+y^2+4x-4y-9=0~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) から \({\small [\,1\,]}\) を引くと、
\(\begin{eqnarray}~~~
x^2+y^2+4x-4y-9&=&0 \\~~
-\big{)}~x^2+y^2\hspace{45pt}-5&=&0\\
\hline 4x-4y-4&=&0
\\[3pt] x-y-1&=&0
\\[3pt] -y&=&-x+1
\\[3pt] y&=&x-1~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
x^2+y^2+4x-4y-9&=&0 \\~~
-\big{)}~x^2+y^2\hspace{45pt}-5&=&0\\
\hline 4x-4y-4&=&0
\\[3pt] x-y-1&=&0
\\[3pt] -y&=&-x+1
\\[3pt] y&=&x-1~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+(x-1)^2-5&=&0\\[3pt]~~~x^2+(x^2-2x+1)-5&=&0\\[3pt]~~~2x^2-2x-4&=&0\\[3pt]~~~x^2-x-2&=&0\\[3pt]~~~(x-2)(x+1)&=&0\\[3pt]~~~x&=&2~,~-1\end{eqnarray}\)
\(x=2\) のとき、\({\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&2-1\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
\(x=-1\) のとき、\({\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&-1-1\\[3pt]~~~&=&-2\end{eqnarray}\)
したがって、共有点は \((2~,~1)\) 、\((-1~,~-2)\)
