- 数学Ⅱ｜図形と方程式「2つの円の交点を通る図形の方程式」の基本例題解説ページです。
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問題｜2つの円の交点を通る図形の方程式
図形と方程式 55円 \(x^2+y^2=5\) と円 \(x^2+y^2+4x-4y-9=0\) の交点と点 \((2~,~0)\) を通る円の方程式の求め方は？また、この交点を通る直線の方程式の求め方は？
高校数学Ⅱ｜図形と方程式
解法のPoint
2つの円の交点を通る図形の方程式
Point：2つの円の交点を通る図形の方程式
① 定数 \(k\) を用いて、2つの円の交点を通る図形の方程式を立てる。
② 通る点の座標を代入して \(k\) の値を求め、\({\small [\,1\,]}\) に再代入して円の方程式を求める。
\((2~,~0)\) を代入して、\(k=3\)
これを \({\small [\,1\,]}\) に再代入して、
③ 交点を通る直線の方程式は \(k=-1\) を代入して求める。
\(k=-1\) を \({\small [\,1\,]}\) に代入して、
\(x-y-1=0\)
2つの円の交点を通る図形の方程式は、
① 定数 \(k\) を用いて、2つの円の交点を通る図形の方程式を立てる。
\(k(x^2+y^2-5)+(x^2+y^2+4x-4y-9)=0~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
② 通る点の座標を代入して \(k\) の値を求め、\({\small [\,1\,]}\) に再代入して円の方程式を求める。
\((2~,~0)\) を代入して、\(k=3\)
これを \({\small [\,1\,]}\) に再代入して、
\(\left(x+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2+\left(y-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2=\displaystyle\frac{\,26\,}{\,4\,}\)
③ 交点を通る直線の方程式は \(k=-1\) を代入して求める。
\(k=-1\) を \({\small [\,1\,]}\) に代入して、
\(x-y-1=0\)
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詳しい解説｜2つの円の交点を通る図形の方程式
図形と方程式 55
円 \(x^2+y^2=5\) と円 \(x^2+y^2+4x-4y-9=0\) の交点と点 \((2~,~0)\) を通る円の方程式の求め方は？また、この交点を通る直線の方程式の求め方は？
高校数学Ⅱ｜図形と方程式
2つの円の交点を通る図形の方程式は、定数 \(k\) を用いて、
\(k(x^2+y^2-5)+(x^2+y^2+4x-4y-9)=0~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
点 \((2~,~0)\) を通るので、\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~k(2^2+0^2-5)+(2^2+0^2+4 \cdot 2-4 \cdot 0-9)&=&0
\\[3pt]~~~k(4-5)+(4+8-9)&=&0
\\[3pt]~~~-k+3&=&0
\\[3pt]~~~-k&=&-3
\\[3pt]~~~k&=&3\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~k(4-5)+(4+8-9)&=&0
\\[3pt]~~~-k+3&=&0
\\[3pt]~~~-k&=&-3
\\[3pt]~~~k&=&3\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) に \(k=3\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~3(x^2+y^2-5)+(x^2+y^2+4x-4y-9)&=&0
\\[3pt]~~~3x^2+3y^2-15+x^2+y^2+4x-4y-9&=&0
\\[3pt]~~~4x^2+4y^2+4x-4y-24&=&0
\\[3pt]~~~x^2+y^2+x-y-6&=&0\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~3x^2+3y^2-15+x^2+y^2+4x-4y-9&=&0
\\[3pt]~~~4x^2+4y^2+4x-4y-24&=&0
\\[3pt]~~~x^2+y^2+x-y-6&=&0\end{eqnarray}\)
\(x\) と \(y\) それぞれについて平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(x^2+x)+(y^2-y)-6&=&0
\\[5pt]~~~\left(x^2+x+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,}\right)-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,}+\left(y^2-y+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,}\right)-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,}-6&=&0
\\[5pt]~~~\left(x+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2+\left(y-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,}+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,}+\displaystyle\frac{\,24\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~\left(x+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2+\left(y-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2&=&\displaystyle\frac{\,26\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~\left(x+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2+\left(y-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2&=&\left(\displaystyle\frac{\,\sqrt{26}\,}{\,2\,}\right)^2\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~\left(x^2+x+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,}\right)-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,}+\left(y^2-y+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,}\right)-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,}-6&=&0
\\[5pt]~~~\left(x+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2+\left(y-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,}+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,}+\displaystyle\frac{\,24\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~\left(x+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2+\left(y-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2&=&\displaystyle\frac{\,26\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~\left(x+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2+\left(y-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2&=&\left(\displaystyle\frac{\,\sqrt{26}\,}{\,2\,}\right)^2\end{eqnarray}\)
したがって、
中心 \(\left(-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\right)\)、半径 \(\displaystyle\frac{\,\sqrt{26}\,}{\,2\,}\) の円となる
この2つの交点を通る直線の方程式は、\({\small [\,1\,]}\) に \(k=-1\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~-(x^2+y^2-5)+(x^2+y^2+4x-4y-9)&=&0
\\[3pt]~~~-x^2-y^2+5+x^2+y^2+4x-4y-9&=&0
\\[3pt]~~~4x-4y-4&=&0
\\[3pt]~~~x-y-1&=&0\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~-x^2-y^2+5+x^2+y^2+4x-4y-9&=&0
\\[3pt]~~~4x-4y-4&=&0
\\[3pt]~~~x-y-1&=&0\end{eqnarray}\)
したがって、直線 \(x-y-1=0\) となる
