- 数学Ⅱ｜図形と方程式「条件を満たす点Pの軌跡」の基本例題解説ページです。
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問題｜条件を満たす点Pの軌跡
図形と方程式 562点 \({\rm A}(1~,~0)\) 、\({\rm B}(4~,~0)\) からの距離の比が \(1:2\) の点 \({\rm P}\) の軌跡の求め方は？
高校数学Ⅱ｜図形と方程式
解法のPoint
条件を満たす点Pの軌跡
Point：条件を満たす点Pの軌跡
① 点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(x~,~y)\) とおく。
② 点 \({\rm P}\) の満たす条件より、条件式をつくる。
③ 座標を用いて条件式を \(x\) と \(y\) の方程式とする。
\(x^2+y^2=4~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
④ 3つの定型文を書き軌跡を求める。
(1) 条件を満たす点 \({\rm P}\) が \({\small [\,2\,]}\) 上にある。
(2) 逆に、\({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}\) は条件を満たす。
(3) したがって、求める軌跡は○○である。
条件を満たす点 \({\rm P}\) の軌跡は、
① 点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(x~,~y)\) とおく。
② 点 \({\rm P}\) の満たす条件より、条件式をつくる。
\({\rm AP}:{\rm BP}=1:2\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~4{\rm AP}^2&=&{\rm BP}^2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
③ 座標を用いて条件式を \(x\) と \(y\) の方程式とする。
\(x^2+y^2=4~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
④ 3つの定型文を書き軌跡を求める。
(1) 条件を満たす点 \({\rm P}\) が \({\small [\,2\,]}\) 上にある。
(2) 逆に、\({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}\) は条件を満たす。
(3) したがって、求める軌跡は○○である。
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詳しい解説｜条件を満たす点Pの軌跡
図形と方程式 56
2点 \({\rm A}(1~,~0)\) 、\({\rm B}(4~,~0)\) からの距離の比が \(1:2\) の点 \({\rm P}\) の軌跡の求め方は？
高校数学Ⅱ｜図形と方程式
点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(x~,~y)\) とおく
点 \({\rm P}\) の満たす条件は、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AP}:{\rm BP}&=&1:2
\\[3pt]~~~\Leftrightarrow\,~~~~2{\rm AP}&=&{\rm BP}
\\[3pt]~~~\Leftrightarrow~~~4{\rm AP}^2&=&{\rm BP}^2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
ここで、2点間の距離より、
\({\rm AP}^2=(x-1)^2+y^2\)
\({\rm BP}^2=(x-4)^2+y^2\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~4\left\{(x-1)^2+y^2\right\}&=&(x-4)^2+y^2
\\[3pt]~~~4(x^2-2x+1+y^2)&=&x^2-8x+16+y^2
\\[3pt]~~~4x^2-8x+4+4y^2-x^2+8x-16-y^2&=&0
\\[3pt]~~~3x^2+3y^2-12&=&0
\\[3pt]~~~x^2+y^2-4&=&0
\\[3pt]~~~x^2+y^2&=&2^2~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~4(x^2-2x+1+y^2)&=&x^2-8x+16+y^2
\\[3pt]~~~4x^2-8x+4+4y^2-x^2+8x-16-y^2&=&0
\\[3pt]~~~3x^2+3y^2-12&=&0
\\[3pt]~~~x^2+y^2-4&=&0
\\[3pt]~~~x^2+y^2&=&2^2~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は円 \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、円 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、中心 \((0~,~0)\) 、半径 \(2\) の円である
