このページは、「条件を満たす点Pの軌跡」の練習問題アーカイブページとなります。
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条件を満たす点Pの軌跡 で確認できます。
目次
問題アーカイブ01
問題アーカイブ012点 \({\rm A}(1~,~0)\) 、\({\rm B}(3~,~2)\) から等距離にある点 \({\rm P}\) の軌跡を求めよ。
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.108 練習37
点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(x~,~y)\) とおく
点 \({\rm P}\) の満たす条件は、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AP}&=&{\rm BP}\\[3pt]~~~\Leftrightarrow~~~{\rm AP}^2&=&{\rm BP}^2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
ここで、2点間の距離より、
\({\rm AP}^2=(x-1)^2+y^2\)
\({\rm BP}^2=(x-3)^2+(y-2)^2\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(x-1)^2+y^2&=&(x-3)^2+(y-2)^2\\[3pt]~~~x^2-2x+1+y^2&=&x^2-6x+9+y^2-4y+4\\[3pt]~~~-2x+1&=&-6x+9-4y+4\\[3pt]~~~4x+4y-12&=&0\\[3pt]~~~x+y-3&=&0~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は直線 \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、直線 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、直線 \(x+y-3=0\) である
問題アーカイブ02
問題アーカイブ022点 \({\rm A}(-1~,~0)\) 、\({\rm B}(2~,~0)\) からの距離の比が \(1:2\) である点 \({\rm P}\) の軌跡を求めよ。
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.109 練習38
点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(x~,~y)\) とおく
点 \({\rm P}\) の満たす条件は、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AP}:{\rm BP}&=&1:2\\[3pt]~~~\Leftrightarrow\,~~~~2{\rm AP}&=&{\rm BP}\\[3pt]~\Leftrightarrow~~~4{\rm AP}^2&=&{\rm BP}^2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
ここで、2点間の距離より、
\({\rm AP}^2=(x+1)^2+y^2\)
\({\rm BP}^2=(x-2)^2+y^2\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~4\left\{(x+1)^2+y^2\right\}&=&(x-2)^2+y^2\\[3pt]~~~4(x^2+2x+1+y^2)&=&x^2-4x+4+y^2\\[3pt]~~~4x^2+8x+4+4y^2-x^2+4x-4-y^2&=&0\\[3pt]~~~3x^2+12x+3y^2&=&0\\[3pt]~~~x^2+4x+y^2&=&0\\[3pt]~~~(x+2)^2+y^2&=&2^2~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は円 \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、円 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、中心 \((-2~,~0)\) 、半径 \(2\) の円である
問題アーカイブ03
問題アーカイブ032点 \({\rm A}(-1~,~0)\) 、\({\rm B}(1~,~0)\) からの距離の2乗の差 \({\rm AP}^2-{\rm BP}^2\) が \(8\) である点 \({\rm P}\) の軌跡を求めよ。
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.119 問題 17
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.99 練習34
点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(x~,~y)\) とおく
点 \({\rm P}\) の満たす条件は、
\({\rm AP}^2-{\rm BP}^2=8~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
ここで、2点間の距離より、
\({\rm AP}^2=(x+1)^2+y^2\)
\({\rm BP}^2=(x-1)^2+y^2\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(x+1)^2+y^2-\left\{(x-1)^2+y^2\right\}&=&8\\[3pt]~~~x^2+2x+1+y^2-(x^2-2x+1+y^2)&=&8\\[3pt]~~~x^2+2x+1+y^2-x^2+2x-1-y^2&=&8\\[3pt]~~~4x&=&8\\[3pt]~~~x&=&2~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は直線 \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、直線 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、直線 \(x=2\) である
問題アーカイブ04
問題アーカイブ042点 \({\rm A}(-3~,~0)\) 、\({\rm B}(2~,~0)\) と点 \({\rm P}\) を頂点とする \(\triangle {\rm PAB}\) が、\({\rm PA}:{\rm PB}=3:2\) を満たしながら変化するとき、点 \({\rm P}\) の軌跡を求めよ。
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.120 演習問題A 6
点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(x~,~y)\) とおく
点 \({\rm P}\) の満たす条件は、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PA}:{\rm PB}&=&3:2\\[3pt]~~~\Leftrightarrow\,~~~~2{\rm PA}&=&3{\rm PB}\\[3pt]~\Leftrightarrow~~~4{\rm PA}^2&=&9{\rm PB}^2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
ここで、2点間の距離より、
\({\rm PA}^2=(x+3)^2+y^2\)
\({\rm PB}^2=(x-2)^2+y^2\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~4\left\{(x+3)^2+y^2\right\}&=&9\left\{(x-2)^2+y^2\right\}\\[3pt]~~~4(x^2+6x+9+y^2)&=&9(x^2-4x+4+y^2)\\[3pt]~~~4x^2+24x+36+4y^2&=&9x^2-36x+36+9y^2\\[3pt]~~~4x^2+24x+36+4y^2-9x^2+36x-36-9y^2&=&0\\[3pt]~~~-5x^2+60x-5y^2&=&0\\[3pt]~~~x^2-12x+y^2&=&0\\[3pt]~~~(x-6)^2+y^2&=&6^2~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ただし、\(\triangle {\rm PAB}\) をつくるので、3点 \({\rm A}\) 、\({\rm B}\) 、\({\rm P}\) は一直線上にない
2点 \({\rm A}\) 、\({\rm B}\) は \(x\) 軸上にあるので、点 \({\rm P}\) の \(y\) 座標が \(0\) とならない。
\({\small [\,2\,]}\) で \(y=0\) とすると、\(x=0~,~12\) となるので、2点 \((0~,~0)\) 、\((12~,~0)\) を除く
よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は円 \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、円 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、中心 \((6~,~0)\) 、半径 \(6\) の円である（ただし、2点 \((0~,~0)\) 、\((12~,~0)\) を除く）
問題アーカイブ05
問題アーカイブ052点 \({\rm A}(-3~,~0)\) 、\({\rm B}(2~,~0)\) からの距離の比が \(3:2\) である点 \({\rm P}\) の軌跡を求めよ。
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.100 練習
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.99 練習31
点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(x~,~y)\) とおく
点 \({\rm P}\) の満たす条件は、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PA}:{\rm PB}&=&3:2\\[3pt]~~~\Leftrightarrow\,~~~~2{\rm PA}&=&3{\rm PB}\\[3pt]~\Leftrightarrow~~~4{\rm PA}^2&=&9{\rm PB}^2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
ここで、2点間の距離より、
\({\rm PA}^2=(x+3)^2+y^2\)
\({\rm PB}^2=(x-2)^2+y^2\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~4\left\{(x+3)^2+y^2\right\}&=&9\left\{(x-2)^2+y^2\right\}\\[3pt]~~~4(x^2+6x+9+y^2)&=&9(x^2-4x+4+y^2)\\[3pt]~~~4x^2+24x+36+4y^2&=&9x^2-36x+36+9y^2\\[3pt]~~~4x^2+24x+36+4y^2-9x^2+36x-36-9y^2&=&0\\[3pt]~~~-5x^2+60x-5y^2&=&0\\[3pt]~~~x^2-12x+y^2&=&0\\[3pt]~~~(x-6)^2+y^2&=&6^2~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は円 \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、円 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、中心 \((6~,~0)\) 、半径 \(6\) の円である
問題アーカイブ06
問題アーカイブ062点 \({\rm A}(-1~,~0)\) 、\({\rm B}(1~,~0)\) に対して、\({\rm AP}^2+{\rm BP}^2=10\) を満たす点 \({\rm P}\) の軌跡を求めよ。
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.110 問題 16
点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(x~,~y)\) とおく
点 \({\rm P}\) の満たす条件は、
\({\rm AP}^2+{\rm BP}^2=10~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
ここで、2点間の距離より、
\({\rm AP}^2=(x+1)^2+y^2\)
\({\rm BP}^2=(x-1)^2+y^2\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(x+1)^2+y^2+(x-1)^2+y^2&=&10\\[3pt]~~~x^2+2x+1+y^2+x^2-2x+1+y^2&=&10\\[3pt]~~~2x^2+2y^2+2&=&10\\[3pt]~~~2x^2+2y^2&=&8\\[3pt]~~~x^2+y^2&=&4\\[3pt]~~~x^2+y^2&=&2^2~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は円 \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、円 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、中心 \((0~,~0)\) 、半径 \(2\) の円である
問題アーカイブ07
問題アーカイブ072点 \({\rm A}(-6~,~0)\) 、\({\rm B}(0~,~4)\) に対して、\({\rm AP}={\rm BP}\) を満たす点 \({\rm P}\) の軌跡を求めよ。
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.98 練習30
点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(x~,~y)\) とおく
点 \({\rm P}\) の満たす条件は、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AP}&=&{\rm BP}\\[3pt]~~~\Leftrightarrow~~~{\rm AP}^2&=&{\rm BP}^2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
ここで、2点間の距離より、
\({\rm AP}^2=(x+6)^2+y^2\)
\({\rm BP}^2=x^2+(y-4)^2\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(x+6)^2+y^2&=&x^2+(y-4)^2\\[3pt]~~~x^2+12x+36+y^2&=&x^2+y^2-8y+16\\[3pt]~~~12x+36&=&-8y+16\\[3pt]~~~12x+8y+20&=&0\\[3pt]~~~3x+2y+5&=&0~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は直線 \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、直線 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、直線 \(3x+2y+5=0\) である
問題アーカイブ08
問題アーカイブ082点 \({\rm A}(2~,~0)\) 、\({\rm B}(-2~,~0)\) に対して、\({\rm AP}^2-{\rm BP}^2=16\) を満たす点 \({\rm P}\) の軌跡を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.98 問1
点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(x~,~y)\) とおく
点 \({\rm P}\) の満たす条件は、
\({\rm AP}^2-{\rm BP}^2=16~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
ここで、2点間の距離より、
\({\rm AP}^2=(x-2)^2+y^2\)
\({\rm BP}^2=(x+2)^2+y^2\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(x-2)^2+y^2-\left\{(x+2)^2+y^2\right\}&=&16\\[3pt]~~~x^2-4x+4+y^2-(x^2+4x+4+y^2)&=&16\\[3pt]~~~x^2-4x+4+y^2-x^2-4x-4-y^2&=&16\\[3pt]~~~-8x&=&16\\[3pt]~~~x&=&-2~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は直線 \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、直線 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、直線 \(x=-2\) である
問題アーカイブ09
問題アーカイブ092点 \({\rm A}(-2~,~0)\) 、\({\rm B}(3~,~0)\) に対して、\({\rm AP}:{\rm BP}=3:2\) であるような点 \({\rm P}\) の軌跡を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.11 問2
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.104 問3
点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(x~,~y)\) とおく
点 \({\rm P}\) の満たす条件は、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AP}:{\rm BP}&=&3:2\\[3pt]~~~\Leftrightarrow\,~~~~2{\rm AP}&=&3{\rm BP}\\[3pt]~\Leftrightarrow~~~4{\rm AP}^2&=&9{\rm BP}^2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
ここで、2点間の距離より、
\({\rm AP}^2=(x+2)^2+y^2\)
\({\rm BP}^2=(x-3)^2+y^2\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~4\left\{(x+2)^2+y^2\right\}&=&9\left\{(x-3)^2+y^2\right\}\\[3pt]~~~4(x^2+4x+4+y^2)&=&9(x^2-6x+9+y^2)\\[3pt]~~~4x^2+16x+16+4y^2&=&9x^2-54x+81+9y^2\\[3pt]~~~4x^2+16x+16+4y^2-9x^2+54x-81-9y^2&=&0\\[3pt]~~~-5x^2+70x-65-5y^2&=&0\\[3pt]~~~x^2-14x+13+y^2&=&0\\[3pt]~~~(x-7)^2+y^2&=&6^2~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は円 \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、円 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、中心 \((7~,~0)\) 、半径 \(6\) の円である
問題アーカイブ10
問題アーカイブ103点 \({\rm O}(0~,~0)\) 、\({\rm A}(4~,~2)\) 、\({\rm B}(5~,~1)\) に対して、次の式を満たす点 \({\rm P}\) の軌跡を求めよ
\({\small (1)}~\) \({\rm OP}^2={\rm AP}^2+{\rm BP}^2\)
\({\small (2)}~\) \({\rm OP}^2+{\rm AP}^2=2{\rm BP}^2\)
\({\small (1)}~\) \({\rm OP}^2={\rm AP}^2+{\rm BP}^2\)
\({\small (2)}~\) \({\rm OP}^2+{\rm AP}^2=2{\rm BP}^2\)
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.107 問題 17
\({\small (1)}~\) 点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(x~,~y)\) とおく
点 \({\rm P}\) の満たす条件は、
\({\rm OP}^2={\rm AP}^2+{\rm BP}^2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
ここで、2点間の距離より、
\({\rm OP}^2=x^2+y^2\)
\({\rm AP}^2=(x-4)^2+(y-2)^2\)
\({\rm BP}^2=(x-5)^2+(y-1)^2\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+y^2&=&(x-4)^2+(y-2)^2+(x-5)^2+(y-1)^2\\[3pt]~~~x^2+y^2&=&x^2-8x+16+y^2-4y+4+x^2-10x+25+y^2-2y+1\\[3pt]~~~x^2+y^2&=&2x^2-18x+2y^2-6y+46\\[3pt]~~~x^2-18x+y^2-6y+46&=&0\\[3pt]~~~(x-9)^2+(y-3)^2&=&44~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は円 \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、円 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、中心 \((9~,~3)\) 、半径 \(2\sqrt{11}\) の円である
\({\small (2)}~\)点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(x~,~y)\) とおく
点 \({\rm P}\) の満たす条件は、
\({\rm OP}^2+{\rm AP}^2=2{\rm BP}^2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
ここで、2点間の距離より、
\({\rm OP}^2=x^2+y^2\)
\({\rm AP}^2=(x-4)^2+(y-2)^2\)
\({\rm BP}^2=(x-5)^2+(y-1)^2\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+y^2+(x-4)^2+(y-2)^2&=&2\left\{(x-5)^2+(y-1)^2\right\}\\[3pt]~~~x^2+y^2+x^2-8x+16+y^2-4y+4&=&2(x^2-10x+25+y^2-2y+1)\\[3pt]~~~2x^2-8x+2y^2-4y+20&=&2x^2-20x+2y^2-4y+52\\[3pt]~~~-8x+20&=&-20x+52\\[3pt]~~~12x&=&32\\[3pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は直線 \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、直線 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、直線 \(x=\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\) である
問題アーカイブ11
問題アーカイブ112点 \({\rm A}(3~,~0)\) 、\({\rm B}(0~,~5)\) から等距離にある点 \({\rm P}\) の軌跡を求めよ。
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.104 問1
点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(x~,~y)\) とおく
点 \({\rm P}\) の満たす条件は、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AP}&=&{\rm BP}\\[3pt]~~~\Leftrightarrow~~~{\rm AP}^2&=&{\rm BP}^2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
ここで、2点間の距離より、
\({\rm AP}^2=(x-3)^2+y^2\)
\({\rm BP}^2=x^2+(y-5)^2\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(x-3)^2+y^2&=&x^2+(y-5)^2\\[3pt]~~~x^2-6x+9+y^2&=&x^2+y^2-10y+25\\[3pt]~~~-6x+9&=&-10y+25\\[3pt]~~~-6x+10y-16&=&0\\[3pt]~~~3x-5y+8&=&0~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は直線 \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、直線 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、直線 \(3x-5y+8=0\) である
問題アーカイブ12
問題アーカイブ122点 \({\rm A}(3~,~0)\) 、\({\rm B}(-3~,~0)\) に対して、\({\rm AP}^2+{\rm BP}^2=50\) を満たす点 \({\rm P}\) の軌跡を求めよ。
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.104 問2
点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(x~,~y)\) とおく
点 \({\rm P}\) の満たす条件は、
\({\rm AP}^2+{\rm BP}^2=50~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
ここで、2点間の距離より、
\({\rm AP}^2=(x-3)^2+y^2\)
\({\rm BP}^2=(x+3)^2+y^2\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(x-3)^2+y^2+(x+3)^2+y^2&=&50\\[3pt]~~~x^2-6x+9+y^2+x^2+6x+9+y^2&=&50\\[3pt]~~~2x^2+2y^2+18&=&50\\[3pt]~~~2x^2+2y^2&=&32\\[3pt]~~~x^2+y^2&=&16\\[3pt]~~~x^2+y^2&=&4^2~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は円 \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、円 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、中心 \((0~,~0)\) 、半径 \(4\) の円である
問題アーカイブ13
問題アーカイブ132点 \({\rm A}(-3~,~0)\) 、\({\rm B}(5~,~0)\) に対して、\({\rm AP}^2-{\rm BP}^2=16\) を満たす点 \({\rm P}\) の軌跡を求めよ。
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.113 Training 20
点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(x~,~y)\) とおく
点 \({\rm P}\) の満たす条件は、
\({\rm AP}^2-{\rm BP}^2=16~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
ここで、2点間の距離より、
\({\rm AP}^2=(x+3)^2+y^2\)
\({\rm BP}^2=(x-5)^2+y^2\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(x+3)^2+y^2-\left\{(x-5)^2+y^2\right\}&=&16\\[3pt]~~~x^2+6x+9+y^2-(x^2-10x+25+y^2)&=&16\\[3pt]~~~x^2+6x+9+y^2-x^2+10x-25-y^2&=&16\\[3pt]~~~16x-16&=&16\\[3pt]~~~16x&=&32\\[3pt]~~~x&=&2~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は直線 \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、直線 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、直線 \(x=2\) である
問題アーカイブ14
問題アーカイブ142点 \({\rm A}(-2~,~0)\) 、\({\rm B}(6~,~0)\) に対して、\({\rm AP}:{\rm BP}=1:3\) を満たす点 \({\rm P}\) の軌跡を求めよ。
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.113 Training 21
点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(x~,~y)\) とおく
点 \({\rm P}\) の満たす条件は、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AP}:{\rm BP}&=&1:3\\[3pt]~~~\Leftrightarrow\,~~~~3{\rm AP}&=&{\rm BP}\\[3pt]~\Leftrightarrow~~~9{\rm AP}^2&=&{\rm BP}^2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
ここで、2点間の距離より、
\({\rm AP}^2=(x+2)^2+y^2\)
\({\rm BP}^2=(x-6)^2+y^2\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~9\left\{(x+2)^2+y^2\right\}&=&(x-6)^2+y^2\\[3pt]~~~9(x^2+4x+4+y^2)&=&x^2-12x+36+y^2\\[3pt]~~~9x^2+36x+36+9y^2&=&x^2-12x+36+y^2\\[3pt]~~~9x^2+36x+36+9y^2-x^2+12x-36-y^2&=&0\\[3pt]~~~8x^2+48x+8y^2&=&0\\[3pt]~~~x^2+6x+y^2&=&0\\[3pt]~~~(x+3)^2+y^2&=&3^2~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は円 \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、円 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、中心 \((-3~,~0)\) 、半径 \(3\) の円である
問題アーカイブ15
問題アーカイブ153点 \({\rm A}(1~,~0)\) 、\({\rm B}(0~,~2)\) 、\({\rm C}(2~,~4)\) について、\({\rm AP}^2+{\rm BP}^2+{\rm CP}^2=37\) を満たす点 \({\rm P}\) の軌跡を求めよ。
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.115 Level Up 11
点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(x~,~y)\) とおく
点 \({\rm P}\) の満たす条件は、
\({\rm AP}^2+{\rm BP}^2+{\rm CP}^2=37~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
ここで、2点間の距離より、
\({\rm AP}^2=(x-1)^2+y^2\)
\({\rm BP}^2=x^2+(y-2)^2\)
\({\rm CP}^2=(x-2)^2+(y-4)^2\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(x-1)^2+y^2+x^2+(y-2)^2+(x-2)^2+(y-4)^2&=&37\\[3pt]~~~x^2-2x+1+y^2+x^2+y^2-4y+4+x^2-4x+4+y^2-8y+16&=&37\\[3pt]~~~3x^2-6x+3y^2-12y+25&=&37\\[3pt]~~~3x^2-6x+3y^2-12y&=&12\\[3pt]~~~x^2-2x+y^2-4y&=&4\\[3pt]~~~(x-1)^2+(y-2)^2&=&3^2~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は円 \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、円 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、中心 \((1~,~2)\) 、半径 \(3\) の円である
