- 数学Ⅱ｜図形と方程式「図形上を動く点Qと点Pの軌跡」の基本例題解説ページです。
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問題｜図形上を動く点Qと点Pの軌跡
図形と方程式 57円 \(x^2+y^2=8\) 上を動く点 \({\rm Q}\) と点 \({\rm A}(6~,~0)\) を結ぶ線分 \({\rm AQ}\) の中点 \({\rm P}\) の軌跡を求めよ。
高校数学Ⅱ｜図形と方程式
解法のPoint
図形上を動く点Qと点Pの軌跡
Point：図形上を動く点Qと点Pの軌跡
① 軌跡を求める点の座標を \({\rm P}(x~,~y)\) 、動く点を \({\rm Q}(s~,~t)\) とおく。
② 点 \({\rm Q}\) が動く図形の方程式より、\(s~,~t\) の条件式をつくる。
③ 点 \({\rm P}\) の満たす条件を \(x~,~y~,~s~,~t\) の方程式で表す。
点 \({\rm P}\) は線分 \({\rm AQ}\) の中点
\(x=\displaystyle \frac{\,6+s\,}{\,2\,}~,~y=\displaystyle \frac{\,t\,}{\,2\,}\)
\(~\Leftrightarrow ~ s=2x-6~,~t=2y\)
④ \({\small [\,1\,]}\) の式に代入して、\(s~,~t\) を消去し \(x~,~y\) の方程式とする。
\({\small [\,1\,]}\) より、\((x-3)^2+y^2=2~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
⑤ 3つの定型文を書き軌跡を求める。
(1) 条件を満たす点 \({\rm P}\) が \({\small [\,2\,]}\) 上にある
(2) 逆に、\({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点は条件を満たす
(3) したがって、求める軌跡は○○である。
円上を動く点 \({\rm Q}\) と連動する点 \({\rm P}\) の軌跡は、
① 軌跡を求める点の座標を \({\rm P}(x~,~y)\) 、動く点を \({\rm Q}(s~,~t)\) とおく。
② 点 \({\rm Q}\) が動く図形の方程式より、\(s~,~t\) の条件式をつくる。
\(x^2+y^2=8\) より、\(s^2+t^2=8~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
③ 点 \({\rm P}\) の満たす条件を \(x~,~y~,~s~,~t\) の方程式で表す。
点 \({\rm P}\) は線分 \({\rm AQ}\) の中点
\(x=\displaystyle \frac{\,6+s\,}{\,2\,}~,~y=\displaystyle \frac{\,t\,}{\,2\,}\)
\(~\Leftrightarrow ~ s=2x-6~,~t=2y\)
④ \({\small [\,1\,]}\) の式に代入して、\(s~,~t\) を消去し \(x~,~y\) の方程式とする。
\({\small [\,1\,]}\) より、\((x-3)^2+y^2=2~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
⑤ 3つの定型文を書き軌跡を求める。
(1) 条件を満たす点 \({\rm P}\) が \({\small [\,2\,]}\) 上にある
(2) 逆に、\({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点は条件を満たす
(3) したがって、求める軌跡は○○である。
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詳しい解説｜図形上を動く点Qと点Pの軌跡
図形と方程式 57
円 \(x^2+y^2=8\) 上を動く点 \({\rm Q}\) と点 \({\rm A}(6~,~0)\) を結ぶ線分 \({\rm AQ}\) の中点 \({\rm P}\) の軌跡を求めよ。
高校数学Ⅱ｜図形と方程式
点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(x~,~y)\) と、動く点 \({\rm Q}\) の座標を \({\rm Q}(s~,~t)\) とおく。
点 \({\rm Q}\) は円 \(x^2+y^2=8\) 上にあるので、
\(s^2+t^2=8~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
点 \({\rm P}\) の満たす条件は、線分 \({\rm AQ}\) の中点より、
\(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,6+s\,}{\,2\,}
\\[3pt]~~~2x&=&6+s
\\[3pt]~~~6+s&=&2x
\\[3pt]~~~s&=&2x-6\end{eqnarray}\)
\(y\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,0+t\,}{\,2\,}
\\[3pt]~~~2y&=&t
\\[3pt]~~~t&=&2y\end{eqnarray}\)
これらを \({\small [\,1\,]}\) に代入して、\(s~,~t\) を消去すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(2x-6)^2+(2y)^2&=&8
\\[3pt]~~~{2(x-3)}^2+4y^2&=&8
\\[3pt]~~~4(x-3)^2+4y^2&=&8
\\[3pt]~~~(x-3)^2+y^2&=&2~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
※ \((2x-6)^2\) は展開せずに、\(\{2(x-3)\}^2=4(x-3)^2\) とした方が先の計算が楽になる。
よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は円 \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、円 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、中心 \((3~,~0)\) 、半径 \(\sqrt{2}\) の円である
