図形上を動く点Qと点Pの軌跡

数研出版｜数学Ⅱ[709] p.110 練習39

点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(x~,~y)\) と、動く点 \({\rm Q}\) の座標を \({\rm Q}(s~,~t)\) とおく。

---

点 \({\rm Q}\) は放物線 \(y=x^2\) 上にあるので、

---

　\(t=s^2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)

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点 \({\rm P}\) の満たす条件は、線分 \({\rm AQ}\) を \(2:1\) に内分する点より、

---

　\(x\) 座標は、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,1 \cdot 0+2 \cdot s\,}{\,2+1\,}\\[3pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,2s\,}{\,3\,}\\[3pt]~~~3x&=&2s\\[3pt]~~~s&=&\displaystyle \frac{\,3x\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

---

　\(y\) 座標は、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,1 \cdot 3+2 \cdot t\,}{\,2+1\,}\\[3pt]~~~y&=&\displaystyle \frac{\,3+2t\,}{\,3\,}\\[3pt]~~~3y&=&3+2t\\[3pt]~~~2t&=&3y-3\\[3pt]~~~t&=&\displaystyle \frac{\,3y-3\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

---

これらを \({\small [\,1\,]}\) に代入して、\(s~,~t\) を消去すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,3y-3\,}{\,2\,}&=&\left(\displaystyle \frac{\,3x\,}{\,2\,}\right)^2\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,3y-3\,}{\,2\,}&=&\displaystyle \frac{\,9x^2\,}{\,4\,}\\[5pt]~~~2(3y-3)&=&9x^2\\[3pt]~~~6y-6&=&9x^2\\[3pt]~~~6y&=&9x^2+6\\[3pt]~~~y&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}x^2+1~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)

---

よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は放物線 \({\small [\,2\,]}\) 上にある

---

逆に、放物線 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす

---

したがって、求める軌跡は、放物線 \(y=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}x^2+1\) である

数研出版｜数学Ⅱ[709] p.119 問題 18

点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(x~,~y)\) と、動く点 \({\rm Q}\) の座標を \({\rm Q}(a~,~b)\) とおく。

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点 \({\rm Q}\) は直線 \(2x-y+1=0\) 上にあるので、

---

　\(2a-b+1=0~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)

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点 \({\rm P}\) の満たす条件は、点 \((2~,~1)\) が線分 \({\rm PQ}\) の中点より、

---

　\(x\) 座標は、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,x+a\,}{\,2\,}&=&2\\[3pt]~~~x+a&=&4\\[3pt]~~~a&=&4-x\end{eqnarray}\)

---

　\(y\) 座標は、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,y+b\,}{\,2\,}&=&1\\[3pt]~~~y+b&=&2\\[3pt]~~~b&=&2-y\end{eqnarray}\)

---

これらを \({\small [\,1\,]}\) に代入して、\(a~,~b\) を消去すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~2(4-x)-(2-y)+1&=&0\\[3pt]~~~8-2x-2+y+1&=&0\\[3pt]~~~-2x+y+7&=&0\\[3pt]~~~2x-y-7&=&0~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)

---

よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は直線 \({\small [\,2\,]}\) 上にある

---

逆に、直線 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす

---

したがって、求める軌跡は、直線 \(2x-y-7=0\) である

数研出版｜数学Ⅱ[709] p.119 問題 19

点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(x~,~y)\) と、動く点 \({\rm Q}\) の座標を \({\rm Q}(s~,~t)\) とおく。

---

点 \({\rm Q}\) は円 \(x^2+y^2=9\) 上にあるので、

---

　\(s^2+t^2=9~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)

---

点 \({\rm P}\) の満たす条件は、\(\triangle {\rm ABQ}\) の重心より、

---

　\(x\) 座標は、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,6+3+s\,}{\,3\,}\\[3pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,9+s\,}{\,3\,}\\[3pt]~~~3x&=&9+s\\[3pt]~~~s&=&3x-9\end{eqnarray}\)

---

　\(y\) 座標は、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,0+3+t\,}{\,3\,}\\[3pt]~~~y&=&\displaystyle \frac{\,3+t\,}{\,3\,}\\[3pt]~~~3y&=&3+t\\[3pt]~~~t&=&3y-3\end{eqnarray}\)

---

これらを \({\small [\,1\,]}\) に代入して、\(s~,~t\) を消去すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~(3x-9)^2+(3y-3)^2&=&9\\[3pt]~~~\{3(x-3)\}^2+\{3(y-1)\}^2&=&9\\[3pt]~~~9(x-3)^2+9(y-1)^2&=&9\\[3pt]~~~(x-3)^2+(y-1)^2&=&1~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)

---

よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は円 \({\small [\,2\,]}\) 上にある

---

逆に、円 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす

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したがって、求める軌跡は、中心 \((3~,~1)\) 、半径 \(1\) の円である

数研出版｜数学Ⅱ[709] p.121 演習問題B 14

\({\small (1)}~\) 直線 \(2x-y=0\) を \(l\) 、点 \({\rm P}\) の座標を \((a~,~b)\) とおく

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直線 \(l\) の傾きは、

---

\(\begin{eqnarray}~~~2x-y&=&0
\\[3pt]~~~-y&=&-2x
\\[3pt]~~~y&=&2x\end{eqnarray}\)

---

よって、\(2\) である

---

また、直線 \({\rm QP}\) の傾きは、\(\displaystyle\frac{\,b-t\,}{\,a-s\,}\) であり、直線 \(l\) と直線 \({\rm QP}\) は垂直に交わるので、傾きの積は \(-1\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~2\cdot\displaystyle\frac{\,b-t\,}{\,a-s\,}&=&-1
\\[5pt]~~~\displaystyle\frac{\,2(b-t)\,}{\,a-s\,}&=&-1
\\[5pt]~2(b-t)&=&-(a-s)
\\[3pt]~2b-2t&=&-a+s
\\[3pt]~a+2b&=&s+2t~\cdots{\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)

---

次に、線分 \({\rm QP}\) の中点 \({\rm M}\) の座標は、

---

　\({\rm M}\left(\displaystyle\frac{\,s+a\,}{\,2\,}~,~\displaystyle\frac{\,t+b\,}{\,2\,}\right)\)

---

この点 \({\rm M}\) は直線 \(l\) 上にあるので、\(2x-y=0\) に代入すると、

---

\(\begin{eqnarray}~2\cdot\displaystyle\frac{\,s+a\,}{\,2\,}-\displaystyle\frac{\,t+b\,}{\,2\,}&=&0
\\[5pt]~2(s+a)-(t+b)&=&0~(\,∵~{\, \small \times \,} 2\,)
\\[3pt]~2s+2a-t-b&=&0
\\[3pt]~2a-b&=&-2s+t~\cdots{\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)

---

\({\small [\,1\,]}+{\small [\,2\,]}{\, \small \times \,} 2\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~
a+2b&=&s+2t \\~~
+\big{)}~~~4a-2b&=&-4s+2t\\
\hline 5a&=&-3s+4t
\\[3pt] a&=&\displaystyle\frac{\,-3s+4t\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)

---

\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、

---

※ 数式は横にスクロールできます。

---

したがって、点 \({\rm P}\) の座標は \(\left(\displaystyle\frac{\,-3s+4t\,}{\,5\,}~,~\displaystyle\frac{\,4s+3t\,}{\,5\,}\right)\) となる

 
 

\({\small (2)}~\) 点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(x~,~y)\) と、動く点 \({\rm Q}\) の座標を \({\rm Q}(s~,~t)\) とおく。

---

点 \({\rm Q}\) は直線 \(x+y=2\) 上にあるので、

---

　\(s+t=2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)

---

\({\small (1)}\) より、点 \({\rm P}\) の満たす条件は、

---

　\(x\) 座標は、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,-3s+4t\,}{\,5\,}
\\[3pt]~~~5x&=&-3s+4t~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)

---

　\(y\) 座標は、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,4s+3t\,}{\,5\,}
\\[3pt]~~~5y&=&4s+3t~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)

---

\({\small [\,1\,]}\) より \(t=2-s\) を \({\small [\,2\,]}~,~{\small [\,3\,]}\) に代入して、\(s~,~t\) を消去する

---

\({\small [\,2\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~5x&=&-3s+4(2-s)
\\[3pt]~~~5x&=&-3s+8-4s
\\[3pt]~~~5x&=&-7s+8
\\[3pt]~~~7s&=&-5x+8
\\[3pt]~~~s&=&\displaystyle\frac{\,-5x+8\,}{\,7\,}~~~\cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)

---

\({\small [\,3\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~5y&=&4s+3(2-s)
\\[3pt]~~~5y&=&4s+6-3s
\\[3pt]~~~5y&=&s+6
\\[3pt]~~~s&=&5y-6~~~\cdots {\small [\,5\,]}\end{eqnarray}\)

---

\({\small [\,4\,]}={\small [\,5\,]}\) より \(s\) を消去すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,-5x+8\,}{\,7\,}&=&5y-6
\\[5pt]~~~-5x+8&=&7(5y-6)
\\[3pt]~~~-5x+8&=&35y-42
\\[3pt]~~~-5x-35y&=&-50
\\[3pt]~~~5x+35y&=&50
\\[3pt]~~~x+7y&=&10\end{eqnarray}\)

---

よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は直線 \(x+7y=10\) 上にある

---

逆に、直線 \(x+7y=10\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす

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したがって、求める軌跡は、直線 \(x+7y=10\) である

数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.101 練習36

点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(x~,~y)\) と、動く点 \({\rm Q}\) の座標を \({\rm Q}(s~,~t)\) とおく。

---

点 \({\rm Q}\) は直線 \(y=x+2\) 上にあるので、

---

　\(t=s+2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)

---

点 \({\rm P}\) の満たす条件は、線分 \({\rm AQ}\) を \(2:1\) に内分する点より、

---

　\(x\) 座標は、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,1\cdot 1+2\cdot s\,}{\,2+1\,}
\\[5pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,1+2s\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~3x&=&1+2s
\\[3pt]~~~2s&=&3x-1
\\[3pt]~~~s&=&\displaystyle\frac{\,3x-1\,}{\,2\,}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)

---

　\(y\) 座標は、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,1\cdot 6+2\cdot t\,}{\,2+1\,}
\\[5pt]~~~y&=&\displaystyle \frac{\,6+2t\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~3y&=&6+2t
\\[3pt]~~~2t&=&3y-6
\\[3pt]~~~t&=&\displaystyle\frac{\,3y-6\,}{\,2\,}~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)

---

これらを \({\small [\,1\,]}\) に代入して、\(s~,~t\) を消去すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,3y-6\,}{\,2\,}&=&\displaystyle\frac{\,3x-1\,}{\,2\,}+2
\\[5pt]~~~3y-6&=&3x-1+4~(\,∵~{\, \small \times \,} 2\,)
\\[3pt]~~~3y-6&=&3x+3
\\[3pt]~~~3y&=&3x+9
\\[3pt]~~~y&=&x+3\end{eqnarray}\)

---

よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は直線 \(y=x+3\) 上にある

---

逆に、直線 \(y=x+3\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす

---

したがって、求める軌跡は、直線 \(y=x+3\) である

数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.111 章末問題A 7
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.108 章末問題A 6

\({\small (1)}~\)点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(x~,~y)\) とおく

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点 \({\rm A}(2~,~1)\) は線分 \({\rm QP}\) の中点なので、

---

　\(x\) 座標は、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a+x\,}{\,2\,}&=&2
\\[5pt]~~~a+x&=&4
\\[3pt]~~~x&=&4-a\end{eqnarray}\)

---

　\(y\) 座標は、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,b+y\,}{\,2\,}&=&1
\\[5pt]~~~b+y&=&2
\\[3pt]~~~y&=&2-b\end{eqnarray}\)

---

したがって、点 \({\rm P}\) の座標は \((4-a~,~2-b)\) となる

 
 

\({\small (2)}~\)点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(x~,~y)\) と、動く点 \({\rm Q}\) の座標を \({\rm Q}(a~,~b)\) とおく。

---

点 \({\rm Q}\) は直線 \(2x+y+1=0\) 上にあるので、

---

　\(2a+b+1=0~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)

---

(1)より、点 \({\rm P}\) の満たす条件は、

---

　\(x\) 座標は、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~x&=&4-a
\\[3pt]~~~a&=&4-x~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)

---

　\(y\) 座標は、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&2-b
\\[3pt]~~~b&=&2-y~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)

---

これらを \({\small [\,1\,]}\) に代入して、\(a~,~b\) を消去すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~2(4-x)+(2-y)+1&=&0
\\[3pt]~~~8-2x+2-y+1&=&0
\\[3pt]~~~-2x-y+11&=&0
\\[3pt]~~~2x+y-11&=&0\end{eqnarray}\)

---

よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は直線 \(2x+y-11=0\) 上にある

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逆に、直線 \(2x+y-11=0\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす

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したがって、求める軌跡は、直線 \(2x+y-11=0\) である

数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.100 練習32

点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(x~,~y)\) と、動く点 \({\rm Q}\) の座標を \({\rm Q}(s~,~t)\) とおく。

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点 \({\rm Q}\) は円 \(x^2+y^2=16\) 上にあるので、

---

　\(s^2+t^2=16~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)

---

点 \({\rm P}\) の満たす条件は、線分 \({\rm AQ}\) の中点より、

---

　\(x\) 座標は、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,0+s\,}{\,2\,}
\\[3pt]~~~2x&=&s
\\[3pt]~~~s&=&2x\end{eqnarray}\)

---

　\(y\) 座標は、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,8+t\,}{\,2\,}
\\[3pt]~~~2y&=&8+t
\\[3pt]~~~8+t&=&2y
\\[3pt]~~~t&=&2y-8\end{eqnarray}\)

---

これらを \({\small [\,1\,]}\) に代入して、\(s~,~t\) を消去すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~(2x)^2+(2y-8)^2&=&16
\\[3pt]~~~4x^2+\{2(y-4)\}^2&=&16
\\[3pt]~~~4x^2+4(y-4)^2&=&16
\\[3pt]~~~x^2+(y-4)^2&=&4~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)

---

よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は円 \({\small [\,2\,]}\) 上にある

---

逆に、円 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす

---

したがって、求める軌跡は、中心 \((0~,~4)\) 、半径 \(2\) の円である

東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.99 問3

点 \({\rm R}\) の座標を \({\rm R}(x~,~y)\) と、動く点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(s~,~t)\) とおく。

---

点 \({\rm P}\) は円 \(x^2+y^2=4\) 上にあるので、

---

　\(s^2+t^2=4~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)

---

点 \({\rm R}\) の満たす条件は、線分 \({\rm AP}\) を \(1:2\) に内分する点より、

---

　\(x\) 座標は、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,2\cdot 4+1\cdot s\,}{\,1+2\,}
\\[5pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,8+s\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~3x&=&8+s
\\[3pt]~~~s&=&3x-8\end{eqnarray}\)

---

　\(y\) 座標は、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,2\cdot 4+1\cdot t\,}{\,1+2\,}
\\[5pt]~~~y&=&\displaystyle \frac{\,8+t\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~3y&=&8+t
\\[3pt]~~~t&=&3y-8\end{eqnarray}\)

---

これらを \({\small [\,1\,]}\) に代入して、\(s~,~t\) を消去すると、

---

※ 数式は横にスクロールできます。

---

よって、条件を満たす点 \({\rm R}\) は円 \({\small [\,2\,]}\) 上にある

---

逆に、円 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm R}(x~,~y)\) は条件を満たす

---

したがって、求める軌跡は、中心 \(\left(\displaystyle\frac{\,8\,}{\,3\,}~,~\displaystyle\frac{\,8\,}{\,3\,}\right)\) 、半径 \(\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\) の円である

東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.99 問4

点 \({\rm Q}\) の座標を \({\rm Q}(x~,~y)\) と、動く点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(s~,~t)\) とおく。

---

点 \({\rm P}\) は放物線 \(y=x^2\) 上にあるので、

---

　\(t=s^2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)

---

点 \({\rm Q}\) の満たす条件は、線分 \({\rm AP}\) の中点より、

---

　\(x\) 座標は、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,4+s\,}{\,2\,}
\\[3pt]~~~2x&=&4+s
\\[3pt]~~~s&=&2x-4\end{eqnarray}\)

---

　\(y\) 座標は、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,2+t\,}{\,2\,}
\\[3pt]~~~2y&=&2+t
\\[3pt]~~~t&=&2y-2\end{eqnarray}\)

---

これらを \({\small [\,1\,]}\) に代入して、\(s~,~t\) を消去すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~2y-2&=&(2x-4)^2
\\[3pt]~~~2y-2&=&\{2(x-2)\}^2
\\[3pt]~~~2y-2&=&4(x-2)^2
\\[3pt]~~~2y&=&4(x-2)^2+2
\\[3pt]~~~y&=&2(x-2)^2+1~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)

---

よって、条件を満たす点 \({\rm Q}\) は放物線 \({\small [\,2\,]}\) 上にある

---

逆に、放物線 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm Q}(x~,~y)\) は条件を満たす

---

したがって、求める軌跡は、放物線 \(y=2(x-2)^2+1\) である

東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.107 問題 18

点 \({\rm Q}\) の座標を \({\rm Q}(x~,~y)\) と、動く点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(s~,~t)\) とおく。

---

点 \({\rm P}\) は直線 \(2x-y-1=0\) 上にあるので、

---

　\(2s-t-1=0~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)

---

点 \({\rm Q}\) の満たす条件は、線分 \({\rm AP}\) を \(3:5\) に内分する点より、

---

　\(x\) 座標は、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,5\cdot (-3)+3\cdot s\,}{\,3+5\,}
\\[5pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,-15+3s\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~8x&=&-15+3s
\\[3pt]~~~3s&=&8x+15
\\[3pt]~~~s&=&\displaystyle\frac{\,8x+15\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

---

　\(y\) 座標は、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,5\cdot 1+3\cdot t\,}{\,3+5\,}
\\[5pt]~~~y&=&\displaystyle \frac{\,5+3t\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~8y&=&5+3t
\\[3pt]~~~3t&=&8y-5
\\[3pt]~~~t&=&\displaystyle\frac{\,8y-5\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

---

これらを \({\small [\,1\,]}\) に代入して、\(s~,~t\) を消去すると、

---

※ 数式は横にスクロールできます。

---

よって、条件を満たす点 \({\rm Q}\) は直線 \(2x-y+4=0\) 上にある

---

逆に、直線 \(2x-y+4=0\) 上の任意の点 \({\rm Q}(x~,~y)\) は条件を満たす

---

したがって、求める軌跡は、直線 \(2x-y+4=0\) である

東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.110 練習問題A 7

点 \({\rm G}\) の座標を \({\rm G}(x~,~y)\) と、動く点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(s~,~t)\) とおく。

---

点 \({\rm P}\) は円 \(x^2+y^2=9\) 上にあるので、

---

　\(s^2+t^2=9~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)

---

点 \({\rm G}\) の満たす条件は、\(\triangle {\rm ABP}\) の重心より、

---

　\(x\) 座標は、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,4+2+s\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,6+s\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~3x&=&6+s
\\[3pt]~~~s&=&3x-6\end{eqnarray}\)

---

　\(y\) 座標は、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,-2+5+t\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~y&=&\displaystyle \frac{\,3+t\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~3y&=&3+t
\\[3pt]~~~t&=&3y-3\end{eqnarray}\)

---

これらを \({\small [\,1\,]}\) に代入して、\(s~,~t\) を消去すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~(3x-6)^2+(3y-3)^2&=&9
\\[3pt]~~~\{3(x-2)\}^2+\{3(y-1)\}^2&=&9
\\[3pt]~~~9(x-2)^2+9(y-1)^2&=&9
\\[3pt]~~~(x-2)^2+(y-1)^2&=&1~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)

---

よって、条件を満たす点 \({\rm G}\) は円 \({\small [\,2\,]}\) 上にある

---

逆に、円 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm G}(x~,~y)\) は条件を満たす

---

したがって、求める軌跡は、中心 \((2~,~1)\) 、半径 \(1\) の円である

東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.111 練習問題B 13

\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}x^2+y^2=4~~~\cdots {\small [\,1\,]}
\\y=x+k~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{array}\right.\end{eqnarray}\)

---

\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) より、\(y\) を消去すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~x^2+(x+k)^2&=&4
\\[3pt]~~~x^2+(x^2+2kx+k^2)-4&=&0
\\[3pt]~~~2x^2+2kx+k^2-4&=&0\end{eqnarray}\)

---

この2次方程式の判別式を \(D\) とすると、

\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}&=&k^2-2(k^2-4)
\\[5pt]~~~&=&k^2-2k^2+8
\\[3pt]~~~&=&-k^2+8\end{eqnarray}\)

---

\({\small (1)}~\)\(D \gt 0\) のとき、

---

\(\begin{eqnarray}~~~-k^2+8&\gt&0
\\[3pt]~~~k^2-8&\lt&0
\\[3pt]~~~(k+2\sqrt{2})(k-2\sqrt{2})&\lt&0\end{eqnarray}\)

---

よって、\(-2\sqrt{2} \lt k \lt 2\sqrt{2}\)

---

このとき、共有点 \(2\) 個

 
 

\({\small (2)}~\)2つの交点の \(x\) 座標を \(\alpha~,~\beta\) とおくと、

---

\(\alpha~,~\beta\) は \(2x^2+2kx+k^2-4=0\) の2つの解なので、解と係数の関係より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}\alpha+\beta=-\displaystyle\frac{\,2k\,}{\,2\,}=-k
\\[5pt]\alpha\beta=\displaystyle\frac{\,k^2-4\,}{\,2\,}\end{array}\right.\end{eqnarray}\)

---

中点 \({\rm M}\) の \(x\) 座標は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,\alpha+\beta\,}{\,2\,}&=&\displaystyle\frac{\,-k\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

---

中点 \({\rm M}\) の \(y\) 座標は、\({\small [\,2\,]}\) より2つの交点の \(y\) 座標は \(\alpha+k~,~\beta+k\) なので、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,(\alpha+k)+(\beta+k)\,}{\,2\,}&=&\displaystyle\frac{\,\alpha+\beta+2k\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,-k+2k\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,k\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

---

したがって、中点 \({\rm M}\) の座標は \(\left(-\displaystyle\frac{\,k\,}{\,2\,}~,~\displaystyle\frac{\,k\,}{\,2\,}\right)\) となる

 
 

\({\small (3)}~\)中点 \({\rm M}\) の座標を \({\rm M}(x~,~y)\) とおく

---

(2)より、点 \({\rm M}\) の満たす条件は、

---

　\(x\) 座標は、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~x&=&-\displaystyle\frac{\,k\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~k&=&-2x~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)

---

　\(y\) 座標は、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle\frac{\,k\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~k&=&2y~~~\cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)

---

\({\small [\,3\,]}={\small [\,4\,]}\) より \(k\) を消去すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~-2x&=&2y
\\[3pt]~~~2y&=&-2x
\\[3pt]~~~y&=&-x\end{eqnarray}\)

---

\({\small (1)}\) より \(-2\sqrt{2} \lt k \lt 2\sqrt{2}\) であり、\({\small [\,3\,]}\) より \(k=-2x\) なので、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&-2\sqrt{2} \lt -2x \lt 2\sqrt{2}
\\[3pt]~~~&&-\sqrt{2} \lt x \lt \sqrt{2}~~~~~(\,∵~{\, \small \div \,} -2\,)\end{eqnarray}\)

---

よって、条件を満たす点 \({\rm M}\) は直線 \(y=-x\) の \(-\sqrt{2} \lt x \lt \sqrt{2}\) の部分にある

---

逆に、この範囲の直線上の任意の点 \({\rm M}(x~,~y)\) は条件を満たす

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したがって、求める軌跡は、直線 \(y=-x\) の \(-\sqrt{2} \lt x \lt \sqrt{2}\) の部分である

東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.105 問4

点 \({\rm Q}\) の座標を \({\rm Q}(x~,~y)\) と、動く点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(s~,~t)\) とおく。

---

点 \({\rm P}\) は直線 \(y=2x+3\) 上にあるので、

---

　\(t=2s+3~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)

---

点 \({\rm Q}\) の満たす条件は、線分 \({\rm AP}\) の中点より、

---

　\(x\) 座標は、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,5+s\,}{\,2\,}
\\[3pt]~~~2x&=&5+s
\\[3pt]~~~s&=&2x-5\end{eqnarray}\)

---

　\(y\) 座標は、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,1+t\,}{\,2\,}
\\[3pt]~~~2y&=&1+t
\\[3pt]~~~t&=&2y-1\end{eqnarray}\)

---

これらを \({\small [\,1\,]}\) に代入して、\(s~,~t\) を消去すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~2y-1&=&2(2x-5)+3
\\[3pt]~~~2y-1&=&4x-10+3
\\[3pt]~~~2y-1&=&4x-7
\\[3pt]~~~2y&=&4x-6
\\[3pt]~~~y&=&2x-3\end{eqnarray}\)

---

よって、条件を満たす点 \({\rm Q}\) は直線 \(y=2x-3\) 上にある

---

逆に、直線 \(y=2x-3\) 上の任意の点 \({\rm Q}(x~,~y)\) は条件を満たす

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したがって、求める軌跡は、直線 \(y=2x-3\) である

東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.105 問5

点 \({\rm Q}\) の座標を \({\rm Q}(x~,~y)\) と、動く点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(s~,~t)\) とおく。

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点 \({\rm P}\) は円 \(x^2+y^2=8\) 上にあるので、

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　\(s^2+t^2=8~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)

---

点 \({\rm Q}\) の満たす条件は、線分 \({\rm AP}\) の中点より、

---

　\(x\) 座標は、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,0+s\,}{\,2\,}
\\[3pt]~~~2x&=&s
\\[3pt]~~~s&=&2x\end{eqnarray}\)

---

　\(y\) 座標は、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,6+t\,}{\,2\,}
\\[3pt]~~~2y&=&6+t
\\[3pt]~~~6+t&=&2y
\\[3pt]~~~t&=&2y-6\end{eqnarray}\)

---

これらを \({\small [\,1\,]}\) に代入して、\(s~,~t\) を消去すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~(2x)^2+(2y-6)^2&=&8
\\[3pt]~~~4x^2+\{2(y-3)\}^2&=&8
\\[3pt]~~~4x^2+4(y-3)^2&=&8
\\[3pt]~~~x^2+(y-3)^2&=&2~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)

---

よって、条件を満たす点 \({\rm Q}\) は円 \({\small [\,2\,]}\) 上にある

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逆に、円 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm Q}(x~,~y)\) は条件を満たす

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したがって、求める軌跡は、中心 \((0~,~3)\) 、半径 \(\sqrt{2}\) の円である

東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.113 Training 22

\({\small (1)}~\)動く点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(s~,~t)\) と、点 \({\rm Q}\) の座標を \({\rm Q}(x~,~y)\) とおく。

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点 \({\rm P}\) は円 \(x^2+y^2=12\) 上にあるので、

---

　\(s^2+t^2=12~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)

---

点 \({\rm Q}\) の満たす条件は、線分 \({\rm AP}\) の中点より、

---

　\(x\) 座標は、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,5+s\,}{\,2\,}
\\[3pt]~~~2x&=&5+s
\\[3pt]~~~s&=&2x-5\end{eqnarray}\)

---

　\(y\) 座標は、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,2+t\,}{\,2\,}
\\[3pt]~~~2y&=&2+t
\\[3pt]~~~t&=&2y-2\end{eqnarray}\)

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これらを \({\small [\,1\,]}\) に代入して、\(s~,~t\) を消去すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~(2x-5)^2+(2y-2)^2&=&12
\\[3pt]~~~\left\{2\left(x-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\right)\right\}^2+\{2(y-1)\}^2&=&12
\\[3pt]~~~4\left(x-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\right)^2+4(y-1)^2&=&12
\\[3pt]~~~\left(x-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\right)^2+(y-1)^2&=&3~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)

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よって、条件を満たす点 \({\rm Q}\) は円 \({\small [\,2\,]}\) 上にある

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逆に、円 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm Q}(x~,~y)\) は条件を満たす

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したがって、求める軌跡は、中心 \(\left(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}~,~1\right)\) 、半径 \(\sqrt{3}\) の円である

 
 

\({\small (2)}~\)動く点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(s~,~t)\) と、点 \({\rm Q}\) の座標を \({\rm Q}(x~,~y)\) とおく。

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点 \({\rm P}\) は直線 \(x-2y+6=0\) 上にあるので、

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　\(s-2t+6=0~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)

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点 \({\rm Q}\) の満たす条件は、線分 \({\rm AP}\) を \(2:1\) に内分する点より、

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　\(x\) 座標は、

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　\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,1 \cdot 6+2 \cdot s\,}{\,2+1\,}
\\[3pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,6+2s\,}{\,3\,}
\\[3pt]~~~3x&=&6+2s
\\[3pt]~~~s&=&\displaystyle \frac{\,3x-6\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

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　\(y\) 座標は、

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　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,1 \cdot 0+2 \cdot t\,}{\,2+1\,}
\\[3pt]~~~y&=&\displaystyle \frac{\,2t\,}{\,3\,}
\\[3pt]~~~3y&=&2t
\\[3pt]~~~t&=&\displaystyle \frac{\,3y\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

---

これらを \({\small [\,1\,]}\) に代入して、\(s~,~t\) を消去すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,3x-6\,}{\,2\,}-2 \cdot \displaystyle \frac{\,3y\,}{\,2\,}+6&=&0
\\[3pt]~~~\displaystyle \frac{\,3x-6\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,6y\,}{\,2\,}+6&=&0
\\[3pt]~~~3x-6-6y+12&=&0
\\[3pt]~~~3x-6y+6&=&0
\\[3pt]~~~x-2y+2&=&0~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)

---

よって、条件を満たす点 \({\rm Q}\) は直線 \({\small [\,2\,]}\) 上にある

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逆に、直線 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm Q}(x~,~y)\) は条件を満たす

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したがって、求める軌跡は、直線 \(x-2y+2=0\) である

東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.115 Level Up 12

動く点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(s~,~t)\) と、点 \({\rm G}\) の座標を \({\rm G}(x~,~y)\) とおく。

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点 \({\rm P}\) は円 \(x^2+y^2=9\) 上にあるので、

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　\(s^2+t^2=9~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)

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点 \({\rm G}\) の満たす条件は、\(\triangle{\rm ABP}\) の重心より、

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　\(x\) 座標は、

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　\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,6+6+s\,}{\,3\,}
\\[3pt]~~~3x&=&12+s
\\[3pt]~~~s&=&3x-12\end{eqnarray}\)

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　\(y\) 座標は、

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　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,3+(-3)+t\,}{\,3\,}
\\[3pt]~~~3y&=&t
\\[3pt]~~~t&=&3y\end{eqnarray}\)

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これらを \({\small [\,1\,]}\) に代入して、\(s~,~t\) を消去すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~(3x-12)^2+(3y)^2&=&9
\\[3pt]~~~\{3(x-4)\}^2+9y^2&=&9
\\[3pt]~~~9(x-4)^2+9y^2&=&9
\\[3pt]~~~(x-4)^2+y^2&=&1~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)

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よって、条件を満たす点 \({\rm G}\) は円 \({\small [\,2\,]}\) 上にある

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逆に、円 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm G}(x~,~y)\) は条件を満たす

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したがって、求める軌跡は、中心 \((4~,~0)\) 、半径 \(1\) の円である