- 数学Ⅱ｜図形と方程式「放物線の頂点の軌跡」の基本例題解説ページです。
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問題｜放物線の頂点の軌跡
図形と方程式 58☆定数 \(a\) がすべての実数値をとって変化するとき、放物線 \(y=x^2-2ax+2a^2-a+1\) の頂点の軌跡を求め方は？
高校数学Ⅱ｜図形と方程式
解法のPoint
放物線の頂点の軌跡
Point：放物線の頂点の軌跡
① 頂点の座標を \({\rm P}(x~,~y)\) とおく。
② 放物線を平方完成して、頂点の座標を求める。
\(y=(x-a)^2+a^2-a+1\)
頂点 \((a~,~a^2-a+1)\)
③ 頂点の条件式より、定数 \(a\) を消去して、 \(x\) と \(y\) の方程式とする。
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
x=a\hspace{37pt}~~~\cdots{\small [\,1\,]} \\
y=a^2-a+1~~~\cdots{\small [\,2\,]}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\) より、
\(y=x^2-x+1~~~\cdots{\small [\,3\,]}\)
④ 3つの過程を書き軌跡を求める。
\({\small (1)}~\) 条件を満たす点 \({\rm P}\) が \({\small [\,3\,]}\) 上にある
\({\small (2)}~\) 逆に、\({\small [\,3\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}\) は条件を満たす
\({\small (3)}~\) したがって、求める軌跡は○○である。
放物線の頂点の軌跡は、
① 頂点の座標を \({\rm P}(x~,~y)\) とおく。
② 放物線を平方完成して、頂点の座標を求める。
\(y=(x-a)^2+a^2-a+1\)
頂点 \((a~,~a^2-a+1)\)
③ 頂点の条件式より、定数 \(a\) を消去して、 \(x\) と \(y\) の方程式とする。
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
x=a\hspace{37pt}~~~\cdots{\small [\,1\,]} \\
y=a^2-a+1~~~\cdots{\small [\,2\,]}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\) より、
\(y=x^2-x+1~~~\cdots{\small [\,3\,]}\)
④ 3つの過程を書き軌跡を求める。
\({\small (1)}~\) 条件を満たす点 \({\rm P}\) が \({\small [\,3\,]}\) 上にある
\({\small (2)}~\) 逆に、\({\small [\,3\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}\) は条件を満たす
\({\small (3)}~\) したがって、求める軌跡は○○である。
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詳しい解説｜放物線の頂点の軌跡
図形と方程式 58☆
定数 \(a\) がすべての実数値をとって変化するとき、放物線 \(y=x^2-2ax+2a^2-a+1\) の頂点の軌跡を求め方は？
高校数学Ⅱ｜図形と方程式
この放物線の頂点を \({\rm P}(x~,~y)\) とおく
放物線を平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&y = x^2-2ax+2a^2-a+1
\\[3pt]~~~&=&(x^2-2ax+a^2)-a^2+2a^2-a+1
\\[3pt]~~~&=&(x-a)^2+a^2-a+1
\end{eqnarray}\)
よって、頂点は \((a~,~a^2-a+1)\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
x=a\hspace{37pt}~~~\cdots{\small [\,1\,]} \\
y=a^2-a+1~~~\cdots{\small [\,2\,]}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\(a=x\) として \({\small [\,2\,]}\) に代入し、 \(a\) を消去すると、
\(y=x^2-x+1~~~\cdots{\small [\,3\,]}\)
以上、条件を満たす点 \({\rm P}\) は放物線 \({\small [\,3\,]}\) 上にある。
逆に、放物線 \({\small [\,3\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}\) は条件を満たす。
したがって、求める軌跡は放物線 \(y=x^2-x+1\) である。
