このページは、「放物線の頂点の軌跡」の練習問題アーカイブページとなります。
この問題の解き方の詳細は↓
放物線の頂点の軌跡 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(a\) は定数とする。放物線 \(y=x^2-2ax+a^2+a+3\) について、
\({\small (1)}~\) 頂点の座標を \(a\) で表せ。
\({\small (2)}~\) \(a\) がすべての実数値をとって変化するとき、頂点の軌跡を求めよ。
\({\small (1)}~\) 頂点の座標を \(a\) で表せ。
\({\small (2)}~\) \(a\) がすべての実数値をとって変化するとき、頂点の軌跡を求めよ。
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.120 演習問題A 7
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.109 章末問題B 11
\({\small (1)}~\)放物線を平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&y = x^2-2ax+a^2+a+3
\\[3pt]~~~&=&(x^2-2ax+a^2)+a+3
\\[3pt]~~~&=&(x-a)^2+a+3
\end{eqnarray}\)
したがって、頂点の座標は \((a~,~a+3)\) である。
\({\small (2)}~\)この放物線の頂点を \({\rm P}(x~,~y)\) とおく
\({\small (1)}\) より、頂点は \((a~,~a+3)\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
x=a\hspace{22pt}~~~\cdots{\small [\,1\,]} \\
y=a+3~~~\cdots{\small [\,2\,]}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\(a=x\) として \({\small [\,2\,]}\) に代入し、 \(a\) を消去すると、
\(y=x+3~~~\cdots{\small [\,3\,]}\)
以上、条件を満たす点 \({\rm P}\) は直線 \({\small [\,3\,]}\) 上にある。
逆に、直線 \({\small [\,3\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}\) は条件を満たす。
したがって、求める軌跡は直線 \(y=x+3\) である。
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\(a\) は定数とする。放物線 \(y=x^2-2(a+3)x+4a^2+12a+8\) について、
\({\small (1)}~\) 頂点の座標を \(a\) で表せ。
\({\small (2)}~\) \(a\) がすべての実数値をとって変化するとき、頂点の軌跡を求めよ。
\({\small (1)}~\) 頂点の座標を \(a\) で表せ。
\({\small (2)}~\) \(a\) がすべての実数値をとって変化するとき、頂点の軌跡を求めよ。
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.112 章末問題B 12
\({\small (1)}~\)放物線を平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&x^2-2(a+3)x+4a^2+12a+8
\\[3pt]~~~&=&\{x^2-2(a+3)x+(a+3)^2\}-(a+3)^2+4a^2+12a+8
\\[3pt]~~~&=&(x-a-3)^2-a^2-6a-9+4a^2+12a+8
\\[3pt]~~~&=&(x-a-3)^2+3a^2+6a-1
\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&\{x^2-2(a+3)x+(a+3)^2\}-(a+3)^2+4a^2+12a+8
\\[3pt]~~~&=&(x-a-3)^2-a^2-6a-9+4a^2+12a+8
\\[3pt]~~~&=&(x-a-3)^2+3a^2+6a-1
\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、頂点の座標は \((a+3~,~3a^2+6a-1)\) である。
\({\small (2)}~\)この放物線の頂点を \({\rm P}(x~,~y)\) とおく
\({\small (1)}\) より、頂点は \((a+3~,~3a^2+6a-1)\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
x=a+3\hspace{37pt}~~~\cdots{\small [\,1\,]} \\
y=3a^2+6a-1~~~\cdots{\small [\,2\,]}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より \(a=x-3\) として \({\small [\,2\,]}\) に代入し、 \(a\) を消去すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&y=3(x-3)^2+6(x-3)-1
\\[3pt]~~~&=&3x^2-18x+27+6x-18-1
\\[3pt]~~~&=&3x^2-12x+8
\end{eqnarray}\)
\(y=3x^2-12x+8~~~\cdots{\small [\,3\,]}\)
以上、条件を満たす点 \({\rm P}\) は放物線 \({\small [\,3\,]}\) 上にある。
逆に、放物線 \({\small [\,3\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}\) は条件を満たす。
したがって、求める軌跡は放物線 \(y=3x^2-12x+8\) である。
