- 数学Ⅱ｜図形と方程式「積の形の不等式の表す領域」の基本例題解説ページです。
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問題｜積の形の不等式の表す領域
図形と方程式 63不等式 \((x+y)(x-y+3) \lt 0\) の表す領域の図示の方法は？
高校数学Ⅱ｜図形と方程式
解法のPoint
積の形の不等式の表す領域
Point：積の形の不等式の表す領域
① 積の形の不等式を2つの連立不等式に分ける。
\(\small [\,1\,]\) \(XY \gt 0\) のとき、
2式の積が正より、ともに正またはともに負
\(\begin{eqnarray} \left\{~\begin{array}{l}
X \gt 0 \\
Y \gt 0
\end{array}\right.\end{eqnarray}\) または \(\begin{eqnarray} \left\{~\begin{array}{l}
X \lt 0 \\
Y \lt 0
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\(\small [\,2\,]\) \(XY \lt 0\) のとき、
2式の積が負より、異符号であり
\(\begin{eqnarray} \left\{~\begin{array}{l}
X \gt 0 \\
Y \lt 0
\end{array}\right.\end{eqnarray}\) または \(\begin{eqnarray} \left\{~\begin{array}{l}
X \lt 0 \\
Y \gt 0
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
② 2つの連立不等式の和集合がすべて不等式の領域となる。
③ 境界線を含むか含まないかを判別する。
不等号にイコールを、
含む \({\small ~≦~}~,~{\small ~≧~}\) \(\Rightarrow\) 境界線を含む
含まない \(\lt~,~\gt\) \(\Rightarrow\) 境界線を含まない
積の形の不等式が表す領域は、
① 積の形の不等式を2つの連立不等式に分ける。
\(\small [\,1\,]\) \(XY \gt 0\) のとき、
2式の積が正より、ともに正またはともに負
\(\begin{eqnarray} \left\{~\begin{array}{l}
X \gt 0 \\
Y \gt 0
\end{array}\right.\end{eqnarray}\) または \(\begin{eqnarray} \left\{~\begin{array}{l}
X \lt 0 \\
Y \lt 0
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\(\small [\,2\,]\) \(XY \lt 0\) のとき、
2式の積が負より、異符号であり
\(\begin{eqnarray} \left\{~\begin{array}{l}
X \gt 0 \\
Y \lt 0
\end{array}\right.\end{eqnarray}\) または \(\begin{eqnarray} \left\{~\begin{array}{l}
X \lt 0 \\
Y \gt 0
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
② 2つの連立不等式の和集合がすべて不等式の領域となる。
③ 境界線を含むか含まないかを判別する。
不等号にイコールを、
含む \({\small ~≦~}~,~{\small ~≧~}\) \(\Rightarrow\) 境界線を含む
含まない \(\lt~,~\gt\) \(\Rightarrow\) 境界線を含まない
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詳しい解説｜積の形の不等式の表す領域
図形と方程式 63
不等式 \((x+y)(x-y+3) \lt 0\) の表す領域の図示の方法は？
高校数学Ⅱ｜図形と方程式
不等式 \((x+y)(x-y+3) \lt 0\) が成り立つことは、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
x+y \gt 0 \\
x-y+3 \lt 0
\end{array}\right.\end{eqnarray}\) \(\cdots {\small [\,1\,]}\)
または、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
x+y \lt 0 \\
x-y+3 \gt 0
\end{array}\right.\end{eqnarray}\) \(\cdots {\small [\,2\,]}\)
が成り立つことと同値である
\({\small [\,1\,]}\) が表す領域は、
\(\begin{eqnarray}~~~x+y&\gt&0
\\[3pt]~~~y&\gt&-x\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~x-y+3&\lt&0
\\[3pt]~~~-y&\lt&-(x+3)
\\[3pt]~~~y&\gt&x+3\end{eqnarray}\)
よって、\(y=-x\) の上側かつ \(y=x+3\) の上側の領域 \({\rm A}\) となる
\({\small [\,2\,]}\) が表す領域は、
\(\begin{eqnarray}~~~x+y&\lt&0
\\[3pt]~~~y&\lt&-x\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~x-y+3&\gt&0
\\[3pt]~~~-y&\gt&-(x+3)
\\[3pt]~~~y&\lt&x+3\end{eqnarray}\)
よって、\(y=-x\) の下側かつ \(y=x+3\) の下側の領域 \({\rm B}\) となる
したがって、この不等式の領域は、この2つの領域の和集合 \({\rm A}\cup{\rm B}\) となるので、
ただし、境界線は含まない
