- 数学Ⅱ｜図形と方程式「絶対値を含む不等式の領域」の基本例題解説ページです。
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問題｜絶対値を含む不等式の領域
図形と方程式 66☆絶対値を含む不等式 \(y{\small ~≧~}|\,x-1\,|\) 、\(y \lt |\,x\,|+1\) 、\(|\,x\,|+|\,y\,|{\small ~≦~}1\) の表す領域の図示の方法は？
高校数学Ⅱ｜図形と方程式
解法のPoint
絶対値を含む不等式の領域
Point：絶対値を含む不等式の領域
① 場合分けで絶対値を外し、それぞれの不等式の領域を求める。
② 場合分けをしたそれぞれの範囲で、領域を図示する。
③ 境界線を含むか含まないかを判別する。
不等号にイコールを、
含む \({\small ~≦~}~,~{\small ~≧~}\) \(\Rightarrow\) 境界線を含む
含まない \(\lt~,~\gt\) \(\Rightarrow\) 境界線を含まない
絶対値を含む不等式の領域は、
① 場合分けで絶対値を外し、それぞれの不等式の領域を求める。
② 場合分けをしたそれぞれの範囲で、領域を図示する。
③ 境界線を含むか含まないかを判別する。
不等号にイコールを、
含む \({\small ~≦~}~,~{\small ~≧~}\) \(\Rightarrow\) 境界線を含む
含まない \(\lt~,~\gt\) \(\Rightarrow\) 境界線を含まない
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詳しい解説｜絶対値を含む不等式の領域
図形と方程式 66☆
絶対値を含む不等式 \(y{\small ~≧~}|\,x-1\,|\) 、\(y \lt |\,x\,|+1\) 、\(|\,x\,|+|\,y\,|{\small ~≦~}1\) の表す領域の図示の方法は？
高校数学Ⅱ｜図形と方程式
\(y{\small ~≧~}|\,x-1\,|\) について、
\({\small [\,1\,]}~x{\small ~≧~}1\) のとき、
\(y{\small ~≧~}x-1\) となり、
直線 \(y=x-1\) の上側
\({\small [\,2\,]}~ x \lt 1\) のとき、
\(y{\small ~≧~}-x+1\) となり、
直線 \(y=-x+1\) の上側
したがって、
ただし、境界線を含む
\(y \lt |\,x\,|+1\) について、
\({\small [\,1\,]}~ x{\small ~≧~}0\) のとき、
\(y \lt x+1\)
直線 \(y=x+1\) の下側
\({\small [\,2\,]}~ x \lt 0\) のとき、
\(y \lt -x+1\)
直線 \(y=-x+1\) の下側
したがって、
ただし、境界線を含まない
\(|\,x\,|+|\,y\,|{\small ~≦~}1\) について、
※ \(|\,x\,|\) と \(|\,y\,|\) があるので、どちらも \(0\) 以上と \(0\) より小さい範囲の場合分けが必要。
\({\small [\,1\,]}~ x{\small ~≧~}0\) かつ \(y{\small ~≧~}0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~x+y&{\small ~≦~}&1\\[3pt]~~~y&{\small ~≦~}&-x+1\end{eqnarray}\)
よって、直線 \(y=-x+1\) の下側
\({\small [\,2\,]}~ x{\small ~≧~}0\) かつ \(y \lt 0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~x-y&{\small ~≦~}&1\\[3pt]~~~-y&{\small ~≦~}&-x+1\\[3pt]~~~y&{\small ~≧~}&x-1\end{eqnarray}\)
よって、直線 \(y=x-1\) の上側
\({\small [\,3\,]}~ x \lt 0\) かつ \(y{\small ~≧~}0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~-x+y&{\small ~≦~}&1\\[3pt]~~~y&{\small ~≦~}&x+1\end{eqnarray}\)
よって、直線 \(y=x+1\) の下側
\({\small [\,4\,]}~ x \lt 0\) かつ \(y \lt 0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~-x-y&{\small ~≦~}&1\\[3pt]~~~-y&{\small ~≦~}&x+1\\[3pt]~~~y&{\small ~≧~}&-x-1\end{eqnarray}\)
よって、直線 \(y=-x-1\) の上側
※ \({\small [\,1\,]}\) は第1象限、\({\small [\,2\,]}\) は第4象限、\({\small [\,3\,]}\) は第2象限、\({\small [\,4\,]}\) は第3象限であることに注意する。
したがって、
ただし、境界線を含む
