領域と最大値・最小値(線形計画法)

不等式 \(2x+y{\small ~≦~}6\) は、

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\(\begin{eqnarray}~~~y&{\small ~≦~}&-2x+6\end{eqnarray}\)

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よって、直線 \(y=-2x+6\) の下側

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不等式 \(x+2y{\small ~≦~}6\) は、

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\(\begin{eqnarray}~~~2y&{\small ~≦~}&-x+6\\[3pt]~~~y&{\small ~≦~}&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x+3\end{eqnarray}\)

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よって、直線 \(y=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x+3\) の下側

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次に、直線 \(2x+y=6\) は、

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　\(x=0\) のとき \(y=6\)
　\(y=0\) のとき \(2x=6\) より \(x=3\)

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よって、\((0~,~6)~,~(3~,~0)\) を通る

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直線 \(x+2y=6\) は、

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　\(x=0\) のとき \(2y=6\) より \(y=3\)
　\(y=0\) のとき \(x=6\)

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よって、\((0~,~3)~,~(6~,~0)\) を通る

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さらに、2直線 \(2x+y=6~,~x+2y=6\) の交点は、

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\(\begin{eqnarray}~~~~~4x+2y&=&12\\~-\big{)}~~~x+2y&=&6\\\hline 3x&=&6\\[3pt]x&=&2\end{eqnarray}\)

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\(2x+y=6\) に代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~2 \cdot 2+y&=&6\\[3pt]~~~y&=&6-4\\[3pt]~~~y&=&2\end{eqnarray}\)

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よって、\((2~,~2)\)

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また、\(x{\small ~≧~}0~,~\)\(y{\small ~≧~}0\) より、原点 \((0~,~0)\) も頂点となる

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以上より、この連立不等式の領域は4点 \((0~,~0)~,~\)\((3~,~0)~,~\)\((0~,~3)~,~\)\((2~,~2)\) を頂点とする四角形の周および内部となる

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ここで、\(x+y=k\) とおくと、

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　\(y=-x+k\)

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傾き \(-1\) 、\(y\) 切片 \(k\) の直線となり、

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\(x+y\) の最大値・最小値は、\(y\) 切片 \(k\) の最大値・最小値となる

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この直線が領域内で共有点をもつとき、

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\(y\) 切片が最大となるのは \((2~,~2)\) を通るときで、

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　\(k=2+2=4\)

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\(y\) 切片が最小となるのは \((0~,~0)\) を通るときで、

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　\(k=0+0=0\)

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したがって、\(x+y\) は、
　\(x=2~,~y=2\) のとき最大値 \(4\)
　\(x=0~,~y=0\) のとき最小値 \(0\) となる