このページは、「領域と最大値・最小値(線形計画法)」の練習問題アーカイブページとなります。
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問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(x~,~y\) が4つの不等式 \(x{\small ~≧~}0~,~\)\(y{\small ~≧~}0~,~\)\(3x+y{\small ~≦~}9~,~\)\(x+2y{\small ~≦~}8\) を満たすとき、\(2x+y\) の最大値および最小値を求めよ。
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.116 練習47
不等式 \(3x+y{\small ~≦~}9\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~y&{\small ~≦~}&-3x+9\end{eqnarray}\)
よって、直線 \(y=-3x+9\) の下側
不等式 \(x+2y{\small ~≦~}8\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~2y&{\small ~≦~}&-x+8\\[3pt]~~~y&{\small ~≦~}&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x+4\end{eqnarray}\)
よって、直線 \(y=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x+4\) の下側
次に、直線 \(3x+y=9\) は、
\(x=0\) のとき \(y=9\)
\(y=0\) のとき \(3x=9\) より \(x=3\)
よって、\((0~,~9)~,~(3~,~0)\) を通る
直線 \(x+2y=8\) は、
\(x=0\) のとき \(2y=8\) より \(y=4\)
\(y=0\) のとき \(x=8\)
よって、\((0~,~4)~,~(8~,~0)\) を通る
さらに、2直線 \(3x+y=9~,~x+2y=8\) の交点は、
\(\begin{eqnarray}~~~~~6x+2y&=&18\\~-\big{)}~~~x+2y&=&8\\\hline 5x&=&10\\[3pt]x&=&2\end{eqnarray}\)
\(3x+y=9\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~3 \cdot 2+y&=&9\\[3pt]~~~y&=&9-6\\[3pt]~~~y&=&3\end{eqnarray}\)
よって、\((2~,~3)\)
また、\(x{\small ~≧~}0~,~\)\(y{\small ~≧~}0\) より、原点 \((0~,~0)\) も頂点となる
以上より、この連立不等式の領域は4点 \((0~,~0)~,~\)\((3~,~0)~,~\)\((0~,~4)~,~\)\((2~,~3)\) を頂点とする四角形の周および内部となる
ここで、\(2x+y=k\) とおくと、
\(y=-2x+k\)
傾き \(-2\) 、\(y\) 切片 \(k\) の直線となり、
\(2x+y\) の最大値・最小値は、\(y\) 切片 \(k\) の最大値・最小値となる
この直線が領域内で共有点をもつとき、
\(y\) 切片が最大となるのは \((2~,~3)\) を通るときで、
\(k=2 \cdot 2+3=7\)
\(y\) 切片が最小となるのは \((0~,~0)\) を通るときで、
\(k=2 \cdot 0+0=0\)
したがって、\(2x+y\) は、
\(x=2~,~y=3\) のとき最大値 \(7\)
\(x=0~,~y=0\) のとき最小値 \(0\) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\(x~,~y\) が3つの不等式 \(2x+y{\small ~≧~}0~,~\)\(x+2y{\small ~≦~}6~,~\)\(4x-y{\small ~≦~}6\) を満たすとき、\(x-y\) の最大値および最小値を求めよ。
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.119 問題 22
不等式 \(2x+y{\small ~≧~}0\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~y&{\small ~≧~}&-2x\end{eqnarray}\)
よって、直線 \(y=-2x\) の上側
不等式 \(x+2y{\small ~≦~}6\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~2y&{\small ~≦~}&-x+6\\[3pt]~~~y&{\small ~≦~}&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x+3\end{eqnarray}\)
よって、直線 \(y=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x+3\) の下側
不等式 \(4x-y{\small ~≦~}6\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~-y&{\small ~≦~}&-4x+6\\[3pt]~~~y&{\small ~≧~}&4x-6\end{eqnarray}\)
よって、直線 \(y=4x-6\) の上側
次に、直線 \(2x+y=0\) と直線 \(x+2y=6\) の交点は、
\(\begin{eqnarray}~~~~~4x+2y&=&0\\~-\big{)}~~~~x+2y&=&6\\\hline 3x&=&-6\\[3pt]x&=&-2\end{eqnarray}\)
\(2x+y=0\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~2 \cdot (-2)+y&=&0\\[3pt]~~~y&=&4\end{eqnarray}\)
よって、\((-2~,~4)\)
直線 \(2x+y=0\) と直線 \(4x-y=6\) の交点は、
\(\begin{eqnarray}~~~~~2x+y&=&0\\~+\big{)}~~~4x-y&=&6\\\hline 6x&=&6\\[3pt]x&=&1\end{eqnarray}\)
\(2x+y=0\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~2 \cdot 1+y&=&0\\[3pt]~~~y&=&-2\end{eqnarray}\)
よって、\((1~,~-2)\)
直線 \(x+2y=6\) と直線 \(4x-y=6\) の交点は、
\(\begin{eqnarray}~~~~~x+2y&=&6\\~+\big{)}~~~8x-2y&=&12\\\hline 9x&=&18\\[3pt]x&=&2\end{eqnarray}\)
\(4x-y=6\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~4 \cdot 2-y&=&6\\[3pt]~~~y&=&2\end{eqnarray}\)
よって、\((2~,~2)\)
以上より、この連立不等式の領域は3点 \((-2~,~4)~,~\)\((1~,~-2)~,~\)\((2~,~2)\) を頂点とする三角形の周および内部となる
ここで、\(x-y=k\) とおくと、
\(y=x-k\)
傾き \(1\) 、\(y\) 切片 \(-k\) の直線となり、
\(-k\) は \(k\) と大小が逆転するため、
\(-k\) が最大のとき、\(k=x-y\) が最小値となり、
\(-k\) が最小のとき、\(k=x-y\) が最大値となる
この直線が領域内で共有点をもつとき、
\(y\) 切片が最小となるのは \((1~,~-2)\) を通るときで、
\(k=1-(-2)=3\)
\(y\) 切片が最大となるのは \((-2~,~4)\) を通るときで、
\(k=-2-4=-6\)
したがって、\(x-y\) は、
\(x=1~,~y=-2\) のとき最大値 \(3\)
\(x=-2~,~y=4\) のとき最小値 \(-6\) となる
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03\(x~,~y\) が4つの不等式 \(x{\small ~≧~}0~,~\)\(y{\small ~≧~}0~,~\)\(2x+y{\small ~≦~}10~,~\)\(2x-3y{\small ~≧~}-6\) を満たすとき、\(x+y\) の最大値および最小値を求めよ。
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.107 練習41
不等式 \(2x+y{\small ~≦~}10\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~y&{\small ~≦~}&-2x+10\end{eqnarray}\)
よって、直線 \(y=-2x+10\) の下側
不等式 \(2x-3y{\small ~≧~}-6\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~-3y&{\small ~≧~}&-2x-6\\[3pt]~~~y&{\small ~≦~}&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}x+2\end{eqnarray}\)
よって、直線 \(y=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}x+2\) の下側
次に、直線 \(2x+y=10\) は、
\(x=0\) のとき \(y=10\)
\(y=0\) のとき \(2x=10\) より \(x=5\)
よって、\((0~,~10)~,~(5~,~0)\) を通る
直線 \(2x-3y=-6\) は、
\(x=0\) のとき \(-3y=-6\) より \(y=2\)
\(y=0\) のとき \(2x=-6\) より \(x=-3\)
よって、\((0~,~2)~,~(-3~,~0)\) を通る
さらに、2直線 \(2x+y=10~,~2x-3y=-6\) の交点は、
\(\begin{eqnarray}~~~~~2x+y&=&10\\~-\big{)}~~~2x-3y&=&-6\\\hline 4y&=&16\\[3pt]y&=&4\end{eqnarray}\)
\(2x+y=10\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~2x+4&=&10\\[3pt]~~~2x&=&6\\[3pt]~~~x&=&3\end{eqnarray}\)
よって、\((3~,~4)\)
また、\(x{\small ~≧~}0~,~\)\(y{\small ~≧~}0\) より、原点 \((0~,~0)\) も頂点となる
以上より、この連立不等式の領域は4点 \((0~,~0)~,~\)\((5~,~0)~,~\)\((3~,~4)~,~\)\((0~,~2)\) を頂点とする四角形の周および内部となる
ここで、\(x+y=k\) とおくと、
\(y=-x+k\)
傾き \(-1\) 、\(y\) 切片 \(k\) の直線となり、
\(x+y\) の最大値・最小値は、\(y\) 切片 \(k\) の最大値・最小値となる
この直線が領域内で共有点をもつとき、
\(y\) 切片が最大となるのは \((3~,~4)\) を通るときで、
\(k=3+4=7\)
\(y\) 切片が最小となるのは \((0~,~0)\) を通るときで、
\(k=0+0=0\)
したがって、\(x+y\) は、
\(x=3~,~y=4\) のとき最大値 \(7\)
\(x=0~,~y=0\) のとき最小値 \(0\) となる
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04\(x~,~y\) が4つの不等式 \(x{\small ~≧~}0~,~\)\(y{\small ~≧~}0~,~\)\(x+3y{\small ~≦~}5~,~\)\(3x+2y{\small ~≦~}8\) を満たすとき、\(x+y\) の最大値および最小値を求めよ。
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.106 練習39
不等式 \(x+3y{\small ~≦~}5\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~3y&{\small ~≦~}&-x+5\\[3pt]~~~y&{\small ~≦~}&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x+\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
よって、直線 \(y=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x+\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\) の下側
不等式 \(3x+2y{\small ~≦~}8\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~2y&{\small ~≦~}&-3x+8\\[3pt]~~~y&{\small ~≦~}&-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}x+4\end{eqnarray}\)
よって、直線 \(y=-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}x+4\) の下側
次に、直線 \(x+3y=5\) は、
\(x=0\) のとき \(3y=5\) より \(y=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\)
\(y=0\) のとき \(x=5\)
よって、\(\left(0~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\right)~,~(5~,~0)\) を通る
直線 \(3x+2y=8\) は、
\(x=0\) のとき \(2y=8\) より \(y=4\)
\(y=0\) のとき \(3x=8\) より \(x=\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\)
よって、\((0~,~4)~,~\left(\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}~,~0\right)\) を通る
さらに、2直線 \(x+3y=5~,~3x+2y=8\) の交点は、
\(\begin{eqnarray}~~~~~3x+9y&=&15\\~-\big{)}~~~3x+2y&=&8\\\hline 7y&=&7\\[3pt]y&=&1\end{eqnarray}\)
\(x+3y=5\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x+3 \cdot 1&=&5\\[3pt]~~~x&=&2\end{eqnarray}\)
よって、\((2~,~1)\)
また、\(x{\small ~≧~}0~,~\)\(y{\small ~≧~}0\) より、原点 \((0~,~0)\) も頂点となる
以上より、この連立不等式の領域は4点 \((0~,~0)~,~\)\(\left(\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}~,~0\right)~,~\)\((2~,~1)~,~\)\(\left(0~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\right)\) を頂点とする四角形の周および内部となる
ここで、\(x+y=k\) とおくと、
\(y=-x+k\)
傾き \(-1\) 、\(y\) 切片 \(k\) の直線となり、
\(x+y\) の最大値・最小値は、\(y\) 切片 \(k\) の最大値・最小値となる
この直線が領域内で共有点をもつとき、
\(y\) 切片が最大となるのは \((2~,~1)\) を通るときで、
\(k=2+1=3\)
\(y\) 切片が最小となるのは \((0~,~0)\) を通るときで、
\(k=0+0=0\)
したがって、\(x+y\) は、
\(x=2~,~y=1\) のとき最大値 \(3\)
\(x=0~,~y=0\) のとき最小値 \(0\) となる
問題アーカイブ05
問題アーカイブ05\(x~,~y\) が4つの不等式 \(x-2y+3{\small ~≧~}0~,~\)\(2x+y-4{\small ~≦~}0~,~\)\(x{\small ~≧~}0~,~\)\(y{\small ~≧~}0\) を満たすとき、\(x+y\) の最大値および最小値を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.106 問14
不等式 \(x-2y+3{\small ~≧~}0\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~-2y&{\small ~≧~}&-x-3\\[3pt]~~~y&{\small ~≦~}&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
よって、直線 \(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\) の下側
不等式 \(2x+y-4{\small ~≦~}0\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~y&{\small ~≦~}&-2x+4\end{eqnarray}\)
よって、直線 \(y=-2x+4\) の下側
次に、直線 \(x-2y+3=0\) は、
\(x=0\) のとき \(-2y+3=0\) より \(y=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\)
\(y=0\) のとき \(x+3=0\) より \(x=-3\)
よって、\(\left(0~,~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\right)~,~(-3~,~0)\) を通る
直線 \(2x+y-4=0\) は、
\(x=0\) のとき \(y-4=0\) より \(y=4\)
\(y=0\) のとき \(2x-4=0\) より \(x=2\)
よって、\((0~,~4)~,~(2~,~0)\) を通る
さらに、2直線 \(x-2y+3=0~,~2x+y-4=0\) の交点は、
\(\begin{eqnarray}~~~~~x-2y&=&-3\\~+\big{)}~~~4x+2y&=&8\\\hline 5x&=&5\\[3pt]x&=&1\end{eqnarray}\)
\(x-2y+3=0\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~1-2y+3&=&0\\[3pt]~~~-2y&=&-4\\[3pt]~~~y&=&2\end{eqnarray}\)
よって、\((1~,~2)\)
また、\(x{\small ~≧~}0~,~\)\(y{\small ~≧~}0\) より、原点 \((0~,~0)\) も頂点となる
以上より、この連立不等式の領域は4点 \((0~,~0)~,~\)\((2~,~0)~,~\)\((1~,~2)~,~\)\(\left(0~,~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\right)\) を頂点とする四角形の周および内部となる
ここで、\(x+y=k\) とおくと、
\(y=-x+k\)
傾き \(-1\) 、\(y\) 切片 \(k\) の直線となり、
\(x+y\) の最大値・最小値は、\(y\) 切片 \(k\) の最大値・最小値となる
この直線が領域内で共有点をもつとき、
\(y\) 切片が最大となるのは \((1~,~2)\) を通るときで、
\(k=1+2=3\)
\(y\) 切片が最小となるのは \((0~,~0)\) を通るときで、
\(k=0+0=0\)
したがって、\(x+y\) は、
\(x=1~,~y=2\) のとき最大値 \(3\)
\(x=0~,~y=0\) のとき最小値 \(0\) となる
問題アーカイブ06
問題アーカイブ06\(x~,~y\) が4つの不等式 \(2x+y{\small ~≦~}9~,~\)\(x+3y{\small ~≦~}12~,~\)\(x{\small ~≧~}0~,~\)\(y{\small ~≧~}0\) を満たすとき、\(x+y\) の最大値および最小値を求めよ。
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.111 問14
不等式 \(2x+y{\small ~≦~}9\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~y&{\small ~≦~}&-2x+9\end{eqnarray}\)
よって、直線 \(y=-2x+9\) の下側
不等式 \(x+3y{\small ~≦~}12\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~3y&{\small ~≦~}&-x+12\\[3pt]~~~y&{\small ~≦~}&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x+4\end{eqnarray}\)
よって、直線 \(y=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x+4\) の下側
次に、直線 \(2x+y=9\) は、
\(x=0\) のとき \(y=9\)
\(y=0\) のとき \(2x=9\) より \(x=\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\)
よって、\((0~,~9)~,~\left(\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}~,~0\right)\) を通る
直線 \(x+3y=12\) は、
\(x=0\) のとき \(3y=12\) より \(y=4\)
\(y=0\) のとき \(x=12\)
よって、\((0~,~4)~,~(12~,~0)\) を通る
さらに、2直線 \(2x+y=9~,~x+3y=12\) の交点は、
\(\begin{eqnarray}~~~~~6x+3y&=&27\\~-\big{)}~~~x+3y&=&12\\\hline 5x&=&15\\[3pt]x&=&3\end{eqnarray}\)
\(2x+y=9\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~2 \cdot 3+y&=&9\\[3pt]~~~y&=&3\end{eqnarray}\)
よって、\((3~,~3)\)
また、\(x{\small ~≧~}0~,~\)\(y{\small ~≧~}0\) より、原点 \((0~,~0)\) も頂点となる
以上より、この連立不等式の領域は4点 \((0~,~0)~,~\)\(\left(\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}~,~0\right)~,~\)\((3~,~3)~,~\)\((0~,~4)\) を頂点とする四角形の周および内部となる
ここで、\(x+y=k\) とおくと、
\(y=-x+k\)
傾き \(-1\) 、\(y\) 切片 \(k\) の直線となり、
\(x+y\) の最大値・最小値は、\(y\) 切片 \(k\) の最大値・最小値となる
この直線が領域内で共有点をもつとき、
\(y\) 切片が最大となるのは \((3~,~3)\) を通るときで、
\(k=3+3=6\)
\(y\) 切片が最小となるのは \((0~,~0)\) を通るときで、
\(k=0+0=0\)
したがって、\(x+y\) は、
\(x=3~,~y=3\) のとき最大値 \(6\)
\(x=0~,~y=0\) のとき最小値 \(0\) となる
問題アーカイブ07
問題アーカイブ07\(x~,~y\) が3つの不等式 \(2x-y{\small ~≧~}0~,~\)\(x-5y{\small ~≦~}0~,~\)\(x+y-6{\small ~≦~}0\) を満たすとき、\(y-x\) の最大値および最小値を求めよ。
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.113 Training 26
不等式 \(2x-y{\small ~≧~}0\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~-y&{\small ~≧~}&-2x\\[3pt]~~~y&{\small ~≦~}&2x\end{eqnarray}\)
よって、直線 \(y=2x\) の下側
不等式 \(x-5y{\small ~≦~}0\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~-5y&{\small ~≦~}&-x\\[3pt]~~~y&{\small ~≧~}&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}x\end{eqnarray}\)
よって、直線 \(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}x\) の上側
不等式 \(x+y-6{\small ~≦~}0\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~y&{\small ~≦~}&-x+6\end{eqnarray}\)
よって、直線 \(y=-x+6\) の下側
次に、直線 \(2x-y=0\) と直線 \(x-5y=0\) の交点は、
\(\begin{eqnarray}~~~~~10x-5y&=&0\\~-\big{)}~~~x-5y&=&0\\\hline 9x&=&0\\[3pt]x&=&0\end{eqnarray}\)
\(2x-y=0\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~2 \cdot 0-y&=&0\\[3pt]~~~y&=&0\end{eqnarray}\)
よって、\((0~,~0)\)
直線 \(2x-y=0\) と直線 \(x+y-6=0\) の交点は、
\(\begin{eqnarray}~~~~~2x-y&=&0\\~+\big{)}~~~x+y&=&6\\\hline 3x&=&6\\[3pt]x&=&2\end{eqnarray}\)
\(2x-y=0\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~2 \cdot 2-y&=&0\\[3pt]~~~y&=&4\end{eqnarray}\)
よって、\((2~,~4)\)
直線 \(x-5y=0\) と直線 \(x+y-6=0\) の交点は、
\(\begin{eqnarray}~~~~~x-5y&=&0\\~-\big{)}~~~x+y&=&6\\\hline -6y&=&-6\\[3pt]y&=&1\end{eqnarray}\)
\(x-5y=0\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x-5 \cdot 1&=&0\\[3pt]~~~x&=&5\end{eqnarray}\)
よって、\((5~,~1)\)
以上より、この連立不等式の領域は3点 \((0~,~0)~,~\)\((2~,~4)~,~\)\((5~,~1)\) を頂点とする三角形の周および内部となる
ここで、\(y-x=k\) とおくと、
\(y=x+k\)
傾き \(1\) 、\(y\) 切片 \(k\) の直線となり、
\(y-x\) の最大値・最小値は、\(y\) 切片 \(k\) の最大値・最小値となる
この直線が領域内で共有点をもつとき、
\(y\) 切片が最大となるのは \((2~,~4)\) を通るときで、
\(k=4-2=2\)
\(y\) 切片が最小となるのは \((5~,~1)\) を通るときで、
\(k=1-5=-4\)
したがって、\(y-x\) は、
\(x=2~,~y=4\) のとき最大値 \(2\)
\(x=5~,~y=1\) のとき最小値 \(-4\) となる
問題アーカイブ08
問題アーカイブ08\(x~,~y\) が3つの不等式 \(x-2y+4{\small ~≧~}0~,~\)\(3x+y-9{\small ~≦~}0~,~\)\(2x+3y+1{\small ~≧~}0\) を満たすとき、\(2x-y\) の最大値および最小値を求めよ。
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.115 Level Up 14
不等式 \(x-2y+4{\small ~≧~}0\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~-2y&{\small ~≧~}&-x-4\\[3pt]~~~y&{\small ~≦~}&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x+2\end{eqnarray}\)
よって、直線 \(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x+2\) の下側
不等式 \(3x+y-9{\small ~≦~}0\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~y&{\small ~≦~}&-3x+9\end{eqnarray}\)
よって、直線 \(y=-3x+9\) の下側
不等式 \(2x+3y+1{\small ~≧~}0\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~3y&{\small ~≧~}&-2x-1\\[3pt]~~~y&{\small ~≧~}&-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}x-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
よって、直線 \(y=-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}x-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) の上側
次に、直線 \(x-2y+4=0\) と直線 \(3x+y-9=0\) の交点は、
\(\begin{eqnarray}~~~~~x-2y&=&-4\\~+\big{)}~~~6x+2y&=&18\\\hline 7x&=&14\\[3pt]x&=&2\end{eqnarray}\)
\(3x+y-9=0\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~3 \cdot 2+y-9&=&0\\[3pt]~~~y&=&3\end{eqnarray}\)
よって、\((2~,~3)\)
直線 \(x-2y+4=0\) と直線 \(2x+3y+1=0\) の交点は、
\(\begin{eqnarray}~~~~~3x-6y&=&-12\\~+\big{)}~~~4x+6y&=&-2\\\hline 7x&=&-14\\[3pt]x&=&-2\end{eqnarray}\)
\(x-2y+4=0\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~-2-2y+4&=&0\\[3pt]~~~-2y&=&-2\\[3pt]~~~y&=&1\end{eqnarray}\)
よって、\((-2~,~1)\)
直線 \(3x+y-9=0\) と直線 \(2x+3y+1=0\) の交点は、
\(\begin{eqnarray}~~~~~9x+3y&=&27\\~-\big{)}~~~2x+3y&=&-1\\\hline 7x&=&28\\[3pt]x&=&4\end{eqnarray}\)
\(3x+y-9=0\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~3 \cdot 4+y-9&=&0\\[3pt]~~~y&=&-3\end{eqnarray}\)
よって、\((4~,~-3)\)
以上より、この連立不等式の領域は3点 \((2~,~3)~,~\)\((-2~,~1)~,~\)\((4~,~-3)\) を頂点とする三角形の周および内部となる
ここで、\(2x-y=k\) とおくと、
\(y=2x-k\)
傾き \(2\) 、\(y\) 切片 \(-k\) の直線となり、
\(-k\) は \(k\) と大小が逆転するため、
\(-k\) が最大のとき、\(k=2x-y\) が最小値となり、
\(-k\) が最小のとき、\(k=2x-y\) が最大値となる
この直線が領域内で共有点をもつとき、
\(y\) 切片が最小となるのは \((4~,~-3)\) を通るときで、
\(k=2 \cdot 4-(-3)=11\)
\(y\) 切片が最大となるのは \((-2~,~1)\) を通るときで、
\(k=2 \cdot (-2)-1=-5\)
したがって、\(2x-y\) は、
\(x=4~,~y=-3\) のとき最大値 \(11\)
\(x=-2~,~y=1\) のとき最小値 \(-5\) となる
