- 数学Ⅱ｜図形と方程式「円の領域と直線の最大値・最小値」の基本例題解説ページです。
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問題｜円の領域と直線の最大値・最小値
図形と方程式 69☆\(x~,~y\) が不等式 \(x^2+y^2{\small ~≦~}5\) を満たすとき、\(y-2x\) の最大値・最小値の求め方は？
高校数学Ⅱ｜図形と方程式
解法のPoint
円の領域と直線の最大値・最小値
Point：円の領域と直線の最大値・最小値
① 不等式の表す円の領域を求める。
② 求めたい式 \(=k\) とおき、直線の式に変形する。
\(y-2x=k\) とおくと \(y=2x+k\)
傾き \(2\)、\(y\) 切片 \(k\) の直線。
③ 円の領域内で直線が共有点をもつための判別式の条件より、\(k\) の値の範囲を求める。
円と直線を連立した2次方程式の
判別式 \(D\) が、\(D{\small ~≧~}0\) である。
④ 最大値・最小値をとる \(k\) の値より、そのときの \(x~,~y\) の値を求める。
円の領域と直線の最大値・最小値の求め方は、
① 不等式の表す円の領域を求める。
② 求めたい式 \(=k\) とおき、直線の式に変形する。
\(y-2x=k\) とおくと \(y=2x+k\)
傾き \(2\)、\(y\) 切片 \(k\) の直線。
③ 円の領域内で直線が共有点をもつための判別式の条件より、\(k\) の値の範囲を求める。
円と直線を連立した2次方程式の
判別式 \(D\) が、\(D{\small ~≧~}0\) である。
④ 最大値・最小値をとる \(k\) の値より、そのときの \(x~,~y\) の値を求める。
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詳しい解説｜円の領域と直線の最大値・最小値
図形と方程式 69☆
\(x~,~y\) が不等式 \(x^2+y^2{\small ~≦~}5\) を満たすとき、\(y-2x\) の最大値・最小値の求め方は？
高校数学Ⅱ｜図形と方程式
\(x^2+y^2{\small ~≦~}5\) は中心 \((0~,~0)\)、半径 \(\sqrt{\,5\,}\) の円の周および内部を表す
ここで、\(y-2x=k\) とおくと、
\(y=2x+k~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
傾き \(2\)、\(y\) 切片 \(k\) の直線となり、
\(y-2x\) の最大値・最小値は、\(y\) 切片 \(k\) の最大値・最小値と等しい
ここで、\({\small [\,1\,]}\) を \(x^2+y^2=5\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&x^2+(2x+k)^2=5
\\[3pt]~~~&&x^2+(4x^2+4kx+k^2)-5=0
\\[3pt]~~~&&5x^2+4kx+k^2-5=0~~~\hspace{10pt}\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
この2次方程式の判別式を \(D\) とすると、\({\small [\,1\,]}\) が領域と共有点をもつための条件は \(D{\small ~≧~}0\) である
\(x\) の係数が偶数で、
\(5x^2+2 \cdot 2kx+(k^2-5)=0\) とできるので、
\( \displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}={b^{\prime}}^2-ac \) を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}=(2k)^2-5 \cdot (k^2-5)&{\small ~≧~}&0
\\[3pt]~~~4k^2-5k^2+25&{\small ~≧~}&0
\\[3pt]~~~-k^2+25&{\small ~≧~}&0
\\[3pt]~~~k^2-25&{\small ~≦~}&0
\\[3pt]~~~(k+5)(k-5)&{\small ~≦~}&0\end{eqnarray}\)
よって、\(-5{\small ~≦~}k{\small ~≦~}5\)
\(k=5\) のとき最大値で、\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~5x^2+4 \cdot 5 \cdot x+5^2-5&=&0
\\[3pt]~~~5x^2+20x+20&=&0
\\[3pt]~~~5(x^2+4x+4)&=&0
\\[3pt]~~~5(x+2)^2&=&0
\\[3pt]~~~x&=&-2\end{eqnarray}\)
よって、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&2 \cdot (-2)+5
\\[3pt]~~~&=&-4+5
\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
これより、\((x~,~y)=(-2~,~1)\)
\(k=-5\) のとき最小値で、\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~5x^2+4 \cdot (-5) \cdot x+(-5)^2-5&=&0
\\[3pt]~~~5x^2-20x+20&=&0
\\[3pt]~~~5(x^2-4x+4)&=&0
\\[3pt]~~~5(x-2)^2&=&0
\\[3pt]~~~x&=&2\end{eqnarray}\)
よって、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&2 \cdot 2-5
\\[3pt]~~~&=&4-5
\\[3pt]~~~&=&-1\end{eqnarray}\)
これより、\((x~,~y)=(2~,~-1)\)
したがって、
\(x=-2~,~y=1\) のとき最大値 \(5\)、
\(x=2~,~y=-1\) のとき最小値 \(-5\) となる
