このページは、「円の領域と直線の最大値・最小値」の練習問題アーカイブページとなります。
この問題の解き方の詳細は↓
円の領域と直線の最大値・最小値 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(x~,~y\) が \(x^2+y^2{\small ~≦~}5\) を満たすとき、\(2x+y\) の最大値および最小値と、そのときの \(x~,~y\) の値を求めよ。
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.120 問題 8
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.107 問題 22
\(x^2+y^2{\small ~≦~}5\) は中心 \((0~,~0)\)、半径 \(\sqrt{\,5\,}\) の円の周および内部を表す
ここで、\(2x+y=k\) とおくと、
\(y=-2x+k~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
傾き \(-2\)、\(y\) 切片 \(k\) の直線となり、
\(2x+y\) の最大値・最小値は、\(y\) 切片 \(k\) の最大値・最小値と等しい
ここで、\({\small [\,1\,]}\) を \(x^2+y^2=5\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&x^2+(-2x+k)^2=5
\\[3pt]~~~&&x^2+(4x^2-4kx+k^2)-5=0
\\[3pt]~~~&&5x^2-4kx+k^2-5=0~~~\hspace{10pt}\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
この2次方程式の判別式を \(D\) とすると、\({\small [\,1\,]}\) が領域と共有点をもつための条件は \(D{\small ~≧~}0\) である
\(x\) の係数が偶数で、
\(5x^2+2 \cdot (-2k)x+(k^2-5)=0\) とできるので、
\( \displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}={b^{\prime}}^2-ac \) を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}=(-2k)^2-5 \cdot (k^2-5)&{\small ~≧~}&0
\\[3pt]~~~4k^2-5k^2+25&{\small ~≧~}&0
\\[3pt]~~~-k^2+25&{\small ~≧~}&0
\\[3pt]~~~k^2-25&{\small ~≦~}&0
\\[3pt]~~~(k+5)(k-5)&{\small ~≦~}&0\end{eqnarray}\)
よって、\(-5{\small ~≦~}k{\small ~≦~}5\)
\(k=5\) のとき最大値で、\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~5x^2-4 \cdot 5 \cdot x+5^2-5&=&0
\\[3pt]~~~5x^2-20x+20&=&0
\\[3pt]~~~5(x^2-4x+4)&=&0
\\[3pt]~~~5(x-2)^2&=&0
\\[3pt]~~~x&=&2\end{eqnarray}\)
よって、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~y&=&-2 \cdot 2+5
\\[3pt]~&=&-4+5
\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
これより、\((x~,~y)=(2~,~1)\)
\(k=-5\) のとき最小値で、\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~5x^2-4 \cdot (-5) \cdot x+(-5)^2-5&=&0
\\[3pt]~~~5x^2+20x+20&=&0
\\[3pt]~~~5(x^2+4x+4)&=&0
\\[3pt]~~~5(x+2)^2&=&0
\\[3pt]~~~x&=&-2\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~5x^2+20x+20&=&0
\\[3pt]~~~5(x^2+4x+4)&=&0
\\[3pt]~~~5(x+2)^2&=&0
\\[3pt]~~~x&=&-2\end{eqnarray}\)
よって、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~y&=&-2 \cdot (-2)-5
\\[3pt]~&=&4-5
\\[3pt]~~~&=&-1\end{eqnarray}\)
これより、\((x~,~y)=(-2~,~-1)\)
したがって、
\(x=2~,~y=1\) のとき最大値 \(5\)、
\(x=-2~,~y=-1\) のとき最小値 \(-5\) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\(x~,~y\) が不等式 \(x^2+y^2{\small ~≦~}1\) を満たすとき、\(x+y\) の最大値および最小値と、そのときの \(x~,~y\) の値を求めよ。
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.110 問題 20
\(x^2+y^2{\small ~≦~}1\) は中心 \((0~,~0)\)、半径 \(1\) の円の周および内部を表す
ここで、\(x+y=k\) とおくと、
\(y=-x+k~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
傾き \(-1\)、\(y\) 切片 \(k\) の直線となり、
\(x+y\) の最大値・最小値は、\(y\) 切片 \(k\) の最大値・最小値と等しい
ここで、\({\small [\,1\,]}\) を \(x^2+y^2=1\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&x^2+(-x+k)^2=1
\\[3pt]~~~&&x^2+(x^2-2kx+k^2)-1=0
\\[3pt]~~~&&2x^2-2kx+k^2-1=0~~~\hspace{10pt}\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
この2次方程式の判別式を \(D\) とすると、\({\small [\,1\,]}\) が領域と共有点をもつための条件は \(D{\small ~≧~}0\) である
\(x\) の係数が偶数で、
\(2x^2+2 \cdot (-k)x+(k^2-1)=0\) とできるので、
\( \displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}={b^{\prime}}^2-ac \) を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}=(-k)^2-2 \cdot (k^2-1)&{\small ~≧~}&0
\\[3pt]~~~k^2-2k^2+2&{\small ~≧~}&0
\\[3pt]~~~-k^2+2&{\small ~≧~}&0
\\[3pt]~~~k^2-2&{\small ~≦~}&0
\\[3pt]~~~(k+\sqrt{\,2\,})(k-\sqrt{\,2\,})&{\small ~≦~}&0\end{eqnarray}\)
よって、\(-\sqrt{\,2\,}{\small ~≦~}k{\small ~≦~}\sqrt{\,2\,}\)
\(k=\sqrt{\,2\,}\) のとき最大値で、\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~2x^2-2 \cdot \sqrt{\,2\,} \cdot x+(\sqrt{\,2\,})^2-1&=&0
\\[3pt]~~~2x^2-2\sqrt{\,2\,}\,x+1&=&0
\\[3pt]~~~(\sqrt{\,2\,}\,x-1)^2&=&0
\\[3pt]~~~\sqrt{\,2\,}\,x&=&1
\\[3pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}=\frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~2x^2-2\sqrt{\,2\,}\,x+1&=&0
\\[3pt]~~~(\sqrt{\,2\,}\,x-1)^2&=&0
\\[3pt]~~~\sqrt{\,2\,}\,x&=&1
\\[3pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}=\frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
よって、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~y&=&-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}+\sqrt{\,2\,}
\\[3pt]~&=&-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}+\frac{\,2\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
これより、\((x~,~y)=\left(\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}~,~\frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\right)\)
\(k=-\sqrt{\,2\,}\) のとき最小値で、\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~2x^2-2 \cdot (-\sqrt{\,2\,}) \cdot x+(-\sqrt{\,2\,})^2-1&=&0
\\[3pt]~~~2x^2+2\sqrt{\,2\,}\,x+1&=&0
\\[3pt]~~~(\sqrt{\,2\,}\,x+1)^2&=&0
\\[3pt]~~~\sqrt{\,2\,}\,x&=&-1
\\[3pt]~~~x&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}=-\frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~2x^2+2\sqrt{\,2\,}\,x+1&=&0
\\[3pt]~~~(\sqrt{\,2\,}\,x+1)^2&=&0
\\[3pt]~~~\sqrt{\,2\,}\,x&=&-1
\\[3pt]~~~x&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}=-\frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
よって、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~y&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}-\sqrt{\,2\,}
\\[3pt]~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}-\frac{\,2\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}
\\[3pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
これより、\((x~,~y)=\left(-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}~,~-\frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\right)\)
したがって、
\(x=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}~,~y=\frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\) のとき最大値 \(\sqrt{\,2\,}\)、
\(x=-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}~,~y=-\frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\) のとき最小値 \(-\sqrt{\,2\,}\) となる
