このページは、「領域と円の最大値・最小値」の練習問題アーカイブページとなります。
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問題アーカイブ01
問題アーカイブ01点 \((x~,~y)\) が連立不等式 \(x-y-1{\small ~≦~}0~,~\)\(2x+3y-12{\small ~≦~}0~,~\)\(4x+y-9{\small ~≧~}0\) の表す領域を動くとき、\(x^2+y^2\) の最大値と最小値を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.111 練習問題B 15
不等式 \(x-y-1{\small ~≦~}0\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~x-y-1&{\small ~≦~}&0
\\[3pt]~~~-y&{\small ~≦~}&-x+1
\\[3pt]~~~y&{\small ~≧~}&x-1\end{eqnarray}\)
よって、直線 \(y=x-1\) の上側
不等式 \(2x+3y-12{\small ~≦~}0\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~2x+3y-12&{\small ~≦~}&0
\\[3pt]~~~3y&{\small ~≦~}&-2x+12
\\[3pt]~~~y&{\small ~≦~}&-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}x+4\end{eqnarray}\)
よって、直線 \(y=-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}x+4\) の下側
不等式 \(4x+y-9{\small ~≧~}0\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~y&{\small ~≧~}&-4x+9\end{eqnarray}\)
よって、直線 \(y=-4x+9\) の上側
次に、2直線 \(x-y-1=0\)、\(2x+3y-12=0\) の交点は、
\(\begin{eqnarray}~~~~~3x-3y-3&=&0
\\~+\big{)}~~~2x+3y-12&=&0
\\\hline 5x-15&=&0
\\[3pt] 5x&=&15
\\[3pt] x&=&3\end{eqnarray}\)
\(x-y-1=0\) に代入して、
\(\begin{eqnarray}~~~3-y-1&=&0
\\[3pt]~~~-y&=&-2
\\[3pt]~~~y&=&2\end{eqnarray}\)
よって、\((3~,~2)\)
また、2直線 \(2x+3y-12=0\)、\(4x+y-9=0\) の交点は、
\(\begin{eqnarray}~~~2x+3y-12&=&0
\\~-\big{)}~~~12x+3y-27&=&0
\\\hline -10x+15&=&0
\\[3pt] -10x&=&-15
\\[3pt] x&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(4x+y-9=0\) に代入して、
\(\begin{eqnarray}~~~4 \cdot \displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}+y-9&=&0
\\[3pt]~~~6+y-9&=&0
\\[3pt]~~~y&=&3\end{eqnarray}\)
よって、\(\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}~,~3\right)\)
さらに、2直線 \(x-y-1=0\)、\(4x+y-9=0\) の交点は、
\(\begin{eqnarray}~~~~~x-y-1&=&0
\\~+\big{)}~~~4x+y-9&=&0
\\\hline 5x-10&=&0
\\[3pt] 5x&=&10
\\[3pt] x&=&2\end{eqnarray}\)
\(x-y-1=0\) に代入して、
\(\begin{eqnarray}~~~2-y-1&=&0
\\[3pt]~~~-y&=&-1
\\[3pt]~~~y&=&1\end{eqnarray}\)
よって、\((2~,~1)\)
以上より、この連立不等式の表す領域は、3点 \((3~,~2)\)、\(\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}~,~3\right)\)、\((2~,~1)\) を頂点とする三角形の周および内部である
ここで、\(x^2+y^2=k\) とおくと、
\(x^2{\small ~≧~}0\)、\(y^2{\small ~≧~}0\) より \(k{\small ~≧~}0\) で、中心 \((0~,~0)\)、半径 \(\sqrt{\,k\,}\) の円となる
この円が領域内で共有点をもつとき、半径が最大で \(x^2+y^2\) が最大値、半径が最小で \(x^2+y^2\) が最小値となる
点 \((3~,~2)\) をとるとき半径が最大で、
最大値 \(3^2+2^2=9+4=13\)
点 \((2~,~1)\) をとるとき半径が最小で、
最小値 \(2^2+1^2=4+1=5\)
したがって、
\(x=3~,~y=2\) のとき、最大値 \(13\)
\(x=2~,~y=1\) のとき、最小値 \(5\) となる
