このページは、「線形計画法の文章問題」の練習問題アーカイブページとなります。
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線形計画法の文章問題 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01ある工場では製品X、Yを製造している。それらを製造するには原料a、bが必要で、X、Yを \(1~{\rm kg}\) 製造するために必要な原料の量と、原料の在庫量は右の表の通りである。また、X、Y \(1~{\rm kg}\) あたりの利益は、それぞれ \(1\) 万円、\(2\) 万円である。原料の在庫量の範囲で、最大の利益を得るには、X、Yをそれぞれ何 \({\rm kg}\) 製造すればよいか。
\(~~~\begin{array}{c|cc}
& 原料a & 原料b \\
\hline
X & 10{\rm kg} & 20{\rm kg} \\
Y & 30{\rm kg} & 20{\rm kg} \\
\hline
在庫 & 300{\rm kg} & 400{\rm kg}
\end{array}\)
\(~~~\begin{array}{c|cc}
& 原料a & 原料b \\
\hline
X & 10{\rm kg} & 20{\rm kg} \\
Y & 30{\rm kg} & 20{\rm kg} \\
\hline
在庫 & 300{\rm kg} & 400{\rm kg}
\end{array}\)
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.121 演習問題B 15
Xを \(x~{\rm kg}\)、Yを \(y~{\rm kg}\) 製造するとき、
\(x{\small ~≧~}0~,~y{\small ~≧~}0~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
原料 a は \(300~{\rm kg}\) 以下なので、
\(10x+30y{\small ~≦~}300~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
原料 b は \(400~{\rm kg}\) 以下なので、
\(20x+20y{\small ~≦~}400~~~\cdots {\small [\,3\,]}\)
不等式 \(10x+30y{\small ~≦~}300\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~x+3y&{\small ~≦~}&30\\[3pt]~~~3y&{\small ~≦~}&-x+30\\[3pt]~~~y&{\small ~≦~}&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x+10\end{eqnarray}\)
よって、直線 \(y=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x+10\) の下側
不等式 \(20x+20y{\small ~≦~}400\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~x+y&{\small ~≦~}&20\\[3pt]~~~y&{\small ~≦~}&-x+20\end{eqnarray}\)
よって、直線 \(y=-x+20\) の下側
次に、直線 \(x+3y=30\) は、
\(x=0\) のとき \(3y=30\) より \(y=10\)
\(y=0\) のとき \(x=30\)
よって、\((0~,~10)~,~(30~,~0)\) を通る
直線 \(x+y=20\) は、
\(x=0\) のとき \(y=20\)
\(y=0\) のとき \(x=20\)
よって、\((0~,~20)~,~(20~,~0)\) を通る
さらに、2直線 \(x+3y=30~,~x+y=20\) の交点は、
\(\begin{eqnarray}~~~~~x+3y&=&30\\~-\big{)}~~~x+y&=&20\\\hline 2y&=&10\\[3pt]y&=&5\end{eqnarray}\)
\(x+y=20\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x+5&=&20\\[3pt]~~~x&=&15\end{eqnarray}\)
よって、\((15~,~5)\)
また、\(x{\small ~≧~}0~,~\)\(y{\small ~≧~}0\) より、原点 \((0~,~0)\) も頂点となる
以上より、この連立不等式の領域は4点 \((0~,~0)~,~\)\((20~,~0)~,~\)\((0~,~10)~,~\)\((15~,~5)\) を頂点とする四角形の周および内部となる
ここで、利益を \(k\) 万円とすると \(x+2y=k\) とおけるので、
\(y=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x+\displaystyle \frac{\,k\,}{\,2\,}\)
傾き \(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) 、\(y\) 切片 \(\displaystyle \frac{\,k\,}{\,2\,}\) の直線となり、
\(x+2y\) の最大値は、\(y\) 切片 \(\displaystyle \frac{\,k\,}{\,2\,}\) の最大値となる
この直線が領域内で共有点をもつとき、
\(y\) 切片が最大となるのは \((15~,~5)\) を通るときで、
\(k=15+2 \cdot 5=25\)
したがって、最大の利益 \(25\) 万円を得るには、Xを \(15~{\rm kg}\)、Yを \(5~{\rm kg}\) 製造すればよい
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02ある工場の製品A、Bを \(1\) トン生産するのに必要な原料P、Qの量と製品A、Bの価格は、それぞれ右の表の通りとする。この工場へ \(1\) 日に供給できる原料Pが最大 \(9\) トン、原料Qが最大 \(8\) トンであるとき、工場で \(1\) 日に生産される製品A、Bの総価格を最大にするには、A、Bをそれぞれ、\(1\) 日に何トンずつ生産すればよいか。
\(~~~\begin{array}{c|ccc}
& 原料P & 原料Q & 価格 \\
\hline
A & 3トン & 1トン & 2万円 \\
B & 1トン & 2トン & 1万円
\end{array}\)
\(~~~\begin{array}{c|ccc}
& 原料P & 原料Q & 価格 \\
\hline
A & 3トン & 1トン & 2万円 \\
B & 1トン & 2トン & 1万円
\end{array}\)
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.112 章末問題B 14
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.109 章末問題B 12
Aを \(x\) トン、Bを \(y\) トン生産するとき、
\(x{\small ~≧~}0~,~y{\small ~≧~}0~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
原料 P は \(9\) トン以下なので、
\(3x+y{\small ~≦~}9~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
原料 Q は \(8\) トン以下なので、
\(x+2y{\small ~≦~}8~~~\cdots {\small [\,3\,]}\)
不等式 \(3x+y{\small ~≦~}9\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~y&{\small ~≦~}&-3x+9\end{eqnarray}\)
よって、直線 \(y=-3x+9\) の下側
不等式 \(x+2y{\small ~≦~}8\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~2y&{\small ~≦~}&-x+8\\[3pt]~~~y&{\small ~≦~}&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x+4\end{eqnarray}\)
よって、直線 \(y=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x+4\) の下側
次に、直線 \(3x+y=9\) は、
\(x=0\) のとき \(y=9\)
\(y=0\) のとき \(3x=9\) より \(x=3\)
よって、\((0~,~9)~,~(3~,~0)\) を通る
直線 \(x+2y=8\) は、
\(x=0\) のとき \(2y=8\) より \(y=4\)
\(y=0\) のとき \(x=8\)
よって、\((0~,~4)~,~(8~,~0)\) を通る
さらに、2直線 \(3x+y=9~,~x+2y=8\) の交点は、
\(\begin{eqnarray}~~~~~6x+2y&=&18\\~-\big{)}~~~x+2y&=&8\\\hline 5x&=&10\\[3pt]x&=&2\end{eqnarray}\)
\(3x+y=9\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~3 \cdot 2+y&=&9\\[3pt]~~~y&=&9-6\\[3pt]~~~y&=&3\end{eqnarray}\)
よって、\((2~,~3)\)
また、\(x{\small ~≧~}0~,~\)\(y{\small ~≧~}0\) より、原点 \((0~,~0)\) も頂点となる
以上より、この連立不等式の領域は4点 \((0~,~0)~,~\)\((3~,~0)~,~\)\((0~,~4)~,~\)\((2~,~3)\) を頂点とする四角形の周および内部となる
ここで、総価格を \(k\) 万円とすると \(2x+y=k\) とおけるので、
\(y=-2x+k\)
傾き \(-2\) 、\(y\) 切片 \(k\) の直線となり、
\(2x+y\) の最大値は、\(y\) 切片 \(k\) の最大値となる
この直線が領域内で共有点をもつとき、
\(y\) 切片が最大となるのは \((2~,~3)\) を通るときで、
\(k=2 \cdot 2+3=7\)
したがって、最大の総価格 \(7\) 万円を得るには、Aを \(2\) トン、Bを \(3\) トン生産すればよい
