- 数学Ⅱ｜三角関数「弧度法の角と三角関数の値」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜弧度法の角と三角関数の値
高校数学Ⅱ｜三角関数
解法のPoint
弧度法の角と三角関数の値
分母が \(6\) や \(3\) の弧度法で表された三角関数の値は、
① \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) が何個分かを数えて円上の位置を確認する。
※ 分母が \(3\) のときは、分母分子に \(2\) を掛けて、\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) が何個分かを数える。
② \(1:2:\sqrt{3}\) の直角三角形より、円上の点の座標 \((x~,~y)\) 半径 \(r\) を求めて、これより三角関数の値を求める。
座標が \((x~,~y)\) 半径 \(r\) のとき、
\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,y\,}{\,r\,}~,~\)\(\cos\theta=\displaystyle \frac{\,x\,}{\,r\,}~,~\)\(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,y\,}{\,x\,}\)
©︎ 2026 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
分母が \(4\) の弧度法で表された三角関数の値は、
① \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) が何個分かを数えて円上の位置を確認する。
② \(1:1:\sqrt{2}\) の直角三角形より、円上の点の座標 \((x~,~y)\) 半径 \(r\) を求めて、これより三角関数の値を求める。
座標が \((x~,~y)\) 半径 \(r\) のとき、
\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,y\,}{\,r\,}~,~\)\(\cos\theta=\displaystyle \frac{\,x\,}{\,r\,}~,~\)\(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,y\,}{\,x\,}\)
©︎ 2026 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
分母が \(2\) または整数の弧度法で表された三角関数の値は、
① \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) が何個分かを数えて、半径が \(1\) の円上の位置を確認する。
② 円上の点の座標 \((x~,~y)\) から三角関数の値を求める。
座標が \((x~,~y)\) のとき、
\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,y\,}{\,r\,}=y~,~\)\(\cos\theta=\displaystyle \frac{\,x\,}{\,r\,}=x\)
\(x\ne 0\) のとき、\(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,y\,}{\,x\,}\)
\(x=0\) のとき、\(\tan \theta\) の値はない
©︎ 2026 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜弧度法の角と三角関数の値
弧度法の角 \(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\)\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}~,~\)\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~\)\(\displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}\pi~,~\)\(\displaystyle \frac{\,7\,}{\,4\,}\pi~,~\)\(-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\pi~,~\)\(\displaystyle \frac{\,13\,}{\,6\,}\pi~,~\)\(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\pi~,~\)\(-5\pi\) のときの \(\sin \theta~,~\)\(\cos \theta~,~\)\(\tan \theta\) の値の求め方は？
高校数学Ⅱ｜三角関数
\(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) が \(1\) 個分であり、第1象限の位置にある
また、\(1:2:\sqrt{3}\) の直角三角形より、
動径と半径 \(2\) の円との交点が \((\sqrt{3}~,~1)\) であるので、
\(\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\)
\(\tan \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}\,}\)
\(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) が \(1\) 個分であり、第1象限の位置にある
また、\(1:1:\sqrt{2}\) の直角三角形より、
動径と半径 \(\sqrt{2}\) の円との交点が \((1~,~1)\) であるので、
\(\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\)
\(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\)
\(\tan \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}=1\)
\(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,6\,}\pi\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) が \(2\) 個分であり、第1象限の位置にある
また、\(1:2:\sqrt{3}\) の直角三角形より、
動径と半径 \(2\) の円との交点が \((1~,~\sqrt{3})\) であるので、
\(\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\)
\(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\(\tan \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}=\sqrt{3}\)
\(\theta=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}\pi\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) が \(7\) 個分であり、第3象限の位置にある
また、\(1:2:\sqrt{3}\) の直角三角形より、
動径と半径 \(2\) の円との交点が \((-\sqrt{3}~,~-1)\) であるので、
\(\sin \displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}\pi=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\(\cos \displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}\pi=-\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\)
\(\tan \displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}\pi=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}\,}\)
\(\theta=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,4\,}\pi\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) が \(7\) 個分であり、第4象限の位置にある
また、\(1:1:\sqrt{2}\) の直角三角形より、
動径と半径 \(\sqrt{2}\) の円との交点が \((1~,~-1)\) であるので、
\(\sin \displaystyle \frac{\,7\,}{\,4\,}\pi=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\)
\(\cos \displaystyle \frac{\,7\,}{\,4\,}\pi=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\)
\(\tan \displaystyle \frac{\,7\,}{\,4\,}\pi=-1\)
\(\theta=-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\pi=-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,6\,}\pi\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) が \(-8\) 個分であり、第2象限の位置にある
また、\(1:2:\sqrt{3}\) の直角三角形より、
動径と半径 \(2\) の円との交点が \((-1~,~\sqrt{3})\) であるので、
\(\sin \left(-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\pi\right)=\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\)
\(\cos \left(-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\pi\right)=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\(\tan \left(-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\pi\right)=-\sqrt{3}\)
\(\theta=\displaystyle \frac{\,13\,}{\,6\,}\pi\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) が \(13\) 個分で \(1\) 周して \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) と同じ位置になる
また、\(1:2:\sqrt{3}\) の直角三角形より、
動径と半径 \(2\) の円との交点が \((\sqrt{3}~,~1)\) であるので、
\(\sin \displaystyle \frac{\,13\,}{\,6\,}\pi=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\(\cos \displaystyle \frac{\,13\,}{\,6\,}\pi=\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\)
\(\tan \displaystyle \frac{\,13\,}{\,6\,}\pi=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}\,}\)
\(\theta=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) が \(5\) 個分であり、半径 \(1\) の円の点 \((0~,~1)\) の位置にある
\(x=0\) より、\(\tan \theta\) の値はない
\(\sin \displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\pi=1\)
\(\cos \displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\pi=0\)
\(\tan \displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) の値はない
\(\theta=-5\pi=-\displaystyle \frac{\,10\,}{\,2\,}\pi\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) が \(-10\) 個分であり、半径 \(1\) の円の点 \((-1~,~0)\) の位置にある
\(\sin \left(-5\pi\right)=0\)
\(\cos \left(-5\pi\right)=-1\)
\(\tan \left(-5\pi\right)=0\)
