弧度法の角と三角関数の値

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問題アーカイブ01

問題アーカイブ01弧度法の角 \(\theta=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi~,~\)\(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi~,~\)\(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi~,~\)\(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\pi~,~\)\(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\pi~,~\)\(\displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}\pi\) のときの \(\sin \theta~,~\)\(\cos \theta~,~\)\(\tan \theta\) の値の求め方は？

\(\theta=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,6\,}\pi\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) が \(4\) 個分であり、第2象限の位置にある

また、\(1:2:\sqrt{3}\) の直角三角形より、
動径と半径 \(2\) の円との交点が \((-1~,~\sqrt{3})\) であるので、

\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,y\,}{\,r\,}~,~\)\(\cos\theta=\displaystyle \frac{\,x\,}{\,r\,}~,~\)\(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,y\,}{\,x\,}\) に \(x=-1~,~\)\(y=\sqrt{3}~,~\)\(r=2\) を代入すると、

　\(\sin \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi=\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\)

　\(\cos \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)

　\(\tan \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi=-\sqrt{3}\)

\(\theta=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) が \(5\) 個分であり、第2象限の位置にある

また、\(1:2:\sqrt{3}\) の直角三角形より、
動径と半径 \(2\) の円との交点が \((-\sqrt{3}~,~1)\) であるので、

\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,y\,}{\,r\,}~,~\)\(\cos\theta=\displaystyle \frac{\,x\,}{\,r\,}~,~\)\(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,y\,}{\,x\,}\) に \(x=-\sqrt{3}~,~\)\(y=1~,~\)\(r=2\) を代入すると、

　\(\sin \displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)

　\(\cos \displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi=-\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\)

　\(\tan \displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}\,}\)

\(\theta=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) が \(5\) 個分であり、第3象限の位置にある

また、\(1:1:\sqrt{2}\) の直角三角形より、
動径と半径 \(\sqrt{2}\) の円との交点が \((-1~,~-1)\) であるので、

　\(\sin \displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\)

　\(\cos \displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\)

　\(\tan \displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi=1\)

\(\theta=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\pi=\displaystyle \frac{\,8\,}{\,6\,}\pi\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) が \(8\) 個分であり、第3象限の位置にある

また、\(1:2:\sqrt{3}\) の直角三角形より、
動径と半径 \(2\) の円との交点が \((-1~,~-\sqrt{3})\) であるので、

　\(\sin \displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\pi=-\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\)

　\(\cos \displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\pi=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)

　\(\tan \displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\pi=\sqrt{3}\)

\(\theta=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\pi=\displaystyle \frac{\,10\,}{\,6\,}\pi\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) が \(10\) 個分であり、第4象限の位置にある

また、\(1:2:\sqrt{3}\) の直角三角形より、
動径と半径 \(2\) の円との交点が \((1~,~-\sqrt{3})\) であるので、

\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,y\,}{\,r\,}~,~\)\(\cos\theta=\displaystyle \frac{\,x\,}{\,r\,}~,~\)\(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,y\,}{\,x\,}\) に \(x=1~,~\)\(y=-\sqrt{3}~,~\)\(r=2\) を代入すると、

　\(\sin \displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\pi=-\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\)

　\(\cos \displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\pi=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)

　\(\tan \displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\pi=-\sqrt{3}\)

\(\theta=\displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}\pi\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) が \(11\) 個分であり、第4象限の位置にある

また、\(1:2:\sqrt{3}\) の直角三角形より、
動径と半径 \(2\) の円との交点が \((\sqrt{3}~,~-1)\) であるので、

\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,y\,}{\,r\,}~,~\)\(\cos\theta=\displaystyle \frac{\,x\,}{\,r\,}~,~\)\(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,y\,}{\,x\,}\) に \(x=\sqrt{3}~,~\)\(y=-1~,~\)\(r=2\) を代入すると、

　\(\sin \displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}\pi=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)

　\(\cos \displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}\pi=\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\)

　\(\tan \displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}\pi=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}\,}\)

問題アーカイブ02

問題アーカイブ02弧度法の角 \(\theta=0~,~\)\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(\pi~,~\)\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi~,~\)\(2\pi\) のときの \(\sin \theta~,~\)\(\cos \theta~,~\)\(\tan \theta\) の値の求め方は？

\(\theta=0\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) が \(0\) 個分であり、半径 \(1\) の円の点 \((1~,~0)\) の位置にある

　\(\sin 0=0\)

　\(\cos 0=1\)

　\(\tan 0=0\)

\(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) が \(1\) 個分であり、半径 \(1\) の円の点 \((0~,~1)\) の位置にある

\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,y\,}{\,r\,}~,~\)\(\cos\theta=\displaystyle \frac{\,x\,}{\,r\,}\) に \(x=0~,~\)\(y=1~,~\)\(r=1\) を代入して、

\(x=0\) より、\(\tan \theta\) の値はない

　\(\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}=1\)

　\(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}=0\)

　\(\tan \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) の値はない

\(\theta=\pi=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,2\,}\pi\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) が \(2\) 個分であり、半径 \(1\) の円の点 \((-1~,~0)\) の位置にある

　\(\sin \pi=0\)

　\(\cos \pi=-1\)

　\(\tan \pi=0\)

\(\theta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) が \(3\) 個分であり、半径 \(1\) の円の点 \((0~,~-1)\) の位置にある

\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,y\,}{\,r\,}~,~\)\(\cos\theta=\displaystyle \frac{\,x\,}{\,r\,}\) に \(x=0~,~\)\(y=-1~,~\)\(r=1\) を代入して、

\(x=0\) より、\(\tan \theta\) の値はない

　\(\sin \displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi=-1\)

　\(\cos \displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi=0\)

　\(\tan \displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\) の値はない

\(\theta=2\pi=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,2\,}\pi\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) が \(4\) 個分であり、半径 \(1\) の円の点 \((1~,~0)\) の位置にある

　\(\sin 2\pi=0\)

　\(\cos 2\pi=1\)

　\(\tan 2\pi=0\)